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TOROÏDE
Toroid,
Toroide
Courbe étudiée par Cauchy en 1841, Catalan
et Breton des Champs (qui lui a donné son nom) en 1844.
Le nom toroïde vient de tore. |
Paramétrisation cartésienne : .
pour l’ellipse : et une distance d à l'ellipse. Biquartique d'équation cartésienne : a^8*b^4-2*a^8*b^2*d^2-2*a^8*b^2*y^2+a^8*d^4-2*a^8*d^2*y^2+a^8*y^4-2*a^6*b^6+2*a^6*b^4*d^2-4*a^6*b^4*x^2+6*a^6*b^4*y^2+2*a^6*b^2*d^4+6*a^6*b^2*d^2*x^2+4*a^6*b^2*d^2*y^2+6*a^6*b^2*x^2*y^2-6*a^6*b^2*y^4- 2*a^6*d^6-2*a^6*d^4*x^2+6*a^6*d^4*y^2+4*a^6*d^2*x^2*y^2-6*a^6*d^2*y^4-2*a^6*x^2*y^4+2*a^6*y^6+a^4*b^8+2*a^4*b^6*d^2+6*a^4*b^6*x^2-4*a^4*b^6*y^2-6*a^4*b^4*d^4-8*a^4*b^4*d^2*x^2-8*a^4*b^4*d^2*y^2+6*a^4*b^4*x^4-10*a^4*b^4*x^2*y^2+6*a^4*b^4*y^4+2*a^4*b^2*d^6 +4*a^4*b^2*d^4*x^2-8*a^4*b^2*d^4*y^2-6*a^4*b^2*d^2*x^4-6*a^4*b^2*d^2*x^2*y^2+10*a^4*b^2*d^2*y^4-6*a^4*b^2*x^4*y^2+2*a^4*b^2*x^2*y^4-4*a^4*b^2*y^6+a^4*d^8-2*a^4*d^6*x^2-4*a^4*d^6*y^2+a^4*d^4*x^4+6*a^4*d^4*x^2*y^2+6*a^4*d^4*y^4-2*a^4*d^2*x^4*y^2 -6*a^4*d^2*x^2*y^4-4*a^4*d^2*y^6+a^4*x^4*y^4+2*a^4*x^2*y^6+a^4*y^8-2*a^2*b^8*d^2-2*a^2*b^8*x^2+2*a^2*b^6*d^4+4*a^2*b^6*d^2*x^2+6*a^2*b^6*d^2*y^2-6*a^2*b^6*x^4+6*a^2*b^6*x^2*y^2+2*a^2*b^4*d^6-8*a^2*b^4*d^4*x^2+4*a^2*b^4*d^4*y^2+10*a^2*b^4*d^2*x^4-6*a^2*b^4*d^2*x^2*y^2 -6*a^2*b^4*d^2*y^4-4*a^2*b^4*x^6+2*a^2*b^4*x^4*y^2-6*a^2*b^4*x^2*y^4-2*a^2*b^2*d^8+6*a^2*b^2*d^6*x^2+6*a^2*b^2*d^6*y^2-6*a^2*b^2*d^4*x^4-10*a^2*b^2*d^4*x^2*y^2-6*a^2*b^2*d^4*y^4+2*a^2*b^2*d^2*x^6+2*a^2*b^2*d^2*x^4*y^2+2*a^2*b^2*d^2*x^2*y^4+2*a^2*b^2*d^2*y^6 +2*a^2*b^2*x^6*y^2+4*a^2*b^2*x^4*y^4+2*a^2*b^2*x^2*y^6+b^8*d^4-2*b^8*d^2*x^2+b^8*x^4-2*b^6*d^6+6*b^6*d^4*x^2-2*b^6*d^4*y^2-6*b^6*d^2*x^4+4*b^6*d^2*x^2*y^2+2*b^6*x^6-2*b^6*x^4*y^2+b^4*d^8-4*b^4*d^6*x^2-2*b^4*d^6*y^2+6*b^4*d^4*x^4+6*b^4*d^4*x^2*y^2 +b^4*d^4*y^4-4*b^4*d^2*x^6-6*b^4*d^2*x^4*y^2-2*b^4*d^2*x^2*y^4+b^4*x^8+2*b^4*x^6*y^2+b^4*x^4*y^4=0 |
Les toroïdes sont les courbes parallèles
à l'ellipse, donc les développantes
de la développée de l'ellipse.
Le nom provient de ce que les toroïdes ne sont autres
que les contours apparents
du tore.
Les toroïdes sont en général formées
de deux ovales, sauf lorsqu'on reporte une longueur comprise entre les
extremum du rayon de courbure de l'ellipse
auquel cas l'une des composantes possède quatre rebroussements situés
sur la développée de l’ellipse.
Ci-contre, évolution de la toroïde, quand la distance d à l'ellipse augmente. En vert, la développée de l'ellipse. |
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Ci-contre, la toroïde (en vert) de l'ellipse bleue,
dans le cas d = 2a , longueur qui est aussi le diamètre
de l'ellipse.
En prenant la courbe tracée en rouge, on obtient une courbe qui a même diamètre que l'ellipse et qui est de largeur constante, ayant un petit air de triangle de Reulaux, et autre que l'évident cercle circonscrit à l'ellipse. |
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Voir aussi les glissettes
tangentielles de l'ellipse.
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© Robert FERRÉOL 2019