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COURBE DE LA CRÊPE

Cette courbe ressemblant au bord d'une crêpe circulaire courbée (ce qui arrive lorsqu'on la fait sauter), nous avons donné le nom de "courbe de la crêpe" à cette courbe qui n'en possède pas d'officiel.
Lire ci-contre un texte de J.E. Mebius à ce sujet.
As far as I know, this curve doesn't have any name of its own. However, it is closely related to a famous item of 19th-century mathematics, the cylindroid surface, discovered by William Kingdon Clifford during his research into the theory of screws. The equation of the cylindroid in 3D Cartesian coordinates commonly reads z = (xx - yy) / (xx + yy). Turning the whole thing thru 90 deg about the Z axis yields z = 2xy / (xx + yy), and there you are: your curve is the intersection of this cylindroid and the unit cylinder about the Z axis. This is generic: cylindroid and cylinder with common axis always intersect in this kind of space curve.

 
Paramétrisation cartésienne : 
forme 1  ; forme 2 :  (rotation de  par rapport à la précédente).
Biquadratique (quartique 3D de première espèce) rationnelle.

On obtient la courbe de la crêpe comme intersection d'un cylindre de révolution () avec :
 - un paraboloïde hyperbolique de même axe ( avec  pour la forme 1)
 - un conoïde de Plücker de même axe : ( pour la forme 1)
 - un cylindre parabolique de droite sommitale perpendiculaire à l'axe du cylindre ( pour la forme 2).
 

Intersection avec un PH

 

Intersection avec un conoïde de Plücker


Intersection avec un cylindre parabolique

En tout il y a donc 6 définitions comme intersections de ces 4 surfaces.

La courbe de la crêpe est un cas particulier de couronne sinusoïdale ; si donc on la fait rouler sur un plan, le point de contact décrit une sinusoïde :

La projection sur xOy est un cercle ; les projections sur xOz et yOz sont deux lemniscates de Gerono isométriques pour la forme 1 et deux portions de parabole pour la forme 2.

Voir aussi à bicylindrique pour une courbe ressemblante.

Malgré le nom que nous avons donné à cette courbe, il ne faut pas la confondre avec une troisième courbe ressemblante, la courbe figurant le bord d'une crêpe circulaire de rayon b posée sur un cylindre de rayon a, ayant pour paramétrisation : .
 

Ne pas confondre la courbe de la crêpe avec la courbe cylindrique qui se développe en un cercle, courbe transcendante, qui devient ceci quand b grandit :

Comparer avec l'intersection d'un paraboloïde hyperbolique avec une sphère.

Voir aussi la surface d'Hector Guimard et un tore sinusoïdal.
 
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© Robert FERRÉOL, Jacques MANDONNET 2005