Polyèdre de Brehm

POLYÈDRE DE BREHM
Brehm's polyhedron, Brehmsches Polyeder

Ulrich Brehm : Mathématicien allemand.
Polyèdre construit en 1988.

Le polyèdre de Brehm est un polyèdre (généralisé) à 10 faces (c'est donc un décaèdre), 9 sommets et 18 arêtes, répondant à la question de construire un modèle de la surface de Boy possèdant un nombre minimal de sommets (on peut montrer que le nombre de sommets ne peut être inférieur à 9).

Sa caractéristique d'Euler-Poincaré est S - A + F = 1, qui est bien celle du plan projectif.

Le polyèdre est formé de

3 faces pentaédriques isométriques, formant un ruban de Möbius
3 faces triangulaires isométriques, se coupant un un point triple
et 3 autres faces triangulaires isométriques, jointes par une base triangulaire également.

Si les 9 sommets sont
A0:=[1,0,0]:B0:=[1/2,0,1/sqrt(2)]:C0:=[3/4,-sqrt(3)/4,sqrt(2)]:
A1:=[-1/2,sqrt(3)/2,0]:B1:=[-1/4,sqrt(3)/4,1/sqrt(2)]:C1:=[0,sqrt(3)/2,sqrt(2)]:
A2:=[-1/2,-sqrt(3)/2,0]:B2:=[-1/4,-sqrt(3)/4,1/sqrt(2)]:C2:=[-3/4,-sqrt(3)/4,sqrt(2)]:
les 3 faces pentaédriques sont
P0:=[A0,B0,A1,B1,C0]:P1:=[A1,B1,A2,B2,C1]:P2:=[A2,B2,A0,B0,C2]:
les 3 faces triangulaires rouges sont
Q0:=[A2,B1,C0]:Q1:=[A0,B2,C1]:Q2:=[A1,B0,C2]:
les 3 faces triangulaires vertes
R0:=[C0,A0,A2]:R1:=[C1,A1,A0]:R2:=[C2,A2,A1]:
et la base triangulaire
[A0,A1,A2]

Voir sur cette page un modèle polyédrique minimal de la surface de Boy dont les faces sont des triangles.

Animation réalisée par Alain Esculier ; anaglype à regarder avec des lunettes rouge à gauche et bleu à droite.

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