Paramétrisation cartésienne d'une immersion dans R3 :  avec , où les fi sont des polynômes homogènes de degré pair.

Le plan projectif (réel) P²(R) est le résultat du quotient de R³\{0} par la relation de colinéarité, muni de la topologie induite.

Mais, plus généralement, on désigne par plan projectif tout espace topologique homéomorphe à P²(R).

On montre qu'une surface est un plan projectif ssi c'est une surface compacte connexe unilatère (à une face) de genre 1 (peut être découpée une fois sans être séparée en 2).

Le nombre chromatique du plan projectif est 6 :

Dans cette carte à 6 pays tracée sur un plan projectif, chaque pays touche les 5 autres ; 6 est le maximum possible, et toute carte pourra être coloriée avec 6
                                                                                                  couleurs au plus.

Voici des exemples classiques de modèles du plan projectif :
    - L'ensemble des droites vectorielles de R³ muni de la topologie naturelle.
    - Un plan (affine réel) complété par une droite projective (la droite de l'infini).
    - Une sphère où l'on a identifié les points antipodaux.
    - Un disque fermé où l'on a identifié les points antipodaux de la circonférence.
    - Un carré plein dont on identifie les côtés opposés avec inversion du sens (ce qui revient exactement à la construction précédente).
 

On coud 2 côtés opposés dans le même sens : on obtient un ruban simple (ou un cylindre tronqué)

On coud 2 côtés opposés dans le sens contraire : on obtient un ruban de Möbius.

On coud les côtés opposé entre eux dans le même sens : on obtient un tore.

On coud les côtés opposés  , un couple dans le même sens, l'autre en sens contraire : on obtient une bouteille de Klein

On coud les côtés opposés en sens contraires : on obtient un plan projectif.

    - le polyèdre étoilé ayant les mêmes arêtes que l'octaèdre dénommé tétrahémihexaèdre.
 
    - Un ruban de Möbius dont on identifie entre eux les points du bord ou que l'on ferme à l'aide d'un couvercle (un ruban de Möbius est donc un plan projectif troué).
 
On obtient donc une immersion du plan projectif dans R³ en déformant un ruban de Möbius de sorte que son bord devienne un cercle, puis en cousant un disque le long de ce cercle.

On ne peut pas représenter le plan projectif dans R³ sans auto-intersection ; les 3 immersions classiques du plan projectif dans R³ sont
    - le bonnet croisé (la plus simple),
    - la surface romaine (la première découverte historiquement),
    - et la  surface de Boy (plus complexe, mais sans "point-pince", contrairement aux deux premières).

Les équations données en en-tête sont celles des surfaces de R³ obtenues par immersion du plan projectif.
Pour , on obtient le bonnet croisé,
Pour , la surface romaine,

et pour


,
on obtient la surface de Boy (équations d'Apéry).

La surface de Véronèse réalise un plongement du plan projectif dans R⁴.
 
 
 

surface suivante

surface précédente

courbes 2D

courbes 3D

surfaces

fractals

polyèdres

© Robert FERRÉOL , Jacques MANDONNET 2001