Représentation rotoïdale : voir à surface de Möbius. Représentation de Wunderlich : surface enveloppe des plans rectifiants (soit la développable rectifiante) de la courbe rationnelle : avec . Représentation sur le conoïde de Plücker.

Un ruban de Möbius est une surface obtenue en cousant bord à bord deux extrémités d’un ruban rectangulaire avec une torsion d'un demi-tour, ou toute surface topologiquement équivalente :
 

Programme Maple permettant d'avoir une animation de cette construction : with(plots):a:=1/2:b:=1/3:c:=1/6:d:=2/3:e:=1/3:C:=4/5: x0:=(1+d^2*t^2+2*d*e*t^4+e^2*t^6)/2:x:=(a*t+b*t^3+c*t^5)/x0:y:=(d*t+e*t^3)/x0:z:=-C/x0:t:=tan(tt): a1:=diff(v1,tt):a2:=diff(v2,tt):a3:=diff(v3,tt): v1:=diff(x,tt):v2:=diff(y,tt):v3:=diff(z,tt): b1:=v2*a3-a2*v3:b2:=a1*v3-v1*a3:b3:=v1*a2-a1*v2: n1:=simplify(v2*b3-b2*v3):n2:=simplify(b1*v3-v1*b3):n3:=simplify(v1*b2-b1*v2): dn1:=diff(n1,tt):dn2:=diff(n2,tt):dn3:=diff(n3,tt): c1:=n2*dn3-dn2*n3:c2:=dn1*n3-n1*dn3:c3:=n1*dn2-dn1*n2: facteur:=simplify(sqrt(b1^2+b2^2+b3^2)/(b1*c1+b2*c2+b3*c3)): c1:=simplify(c1*facteur):c2:=simplify(c2*facteur):c3:=simplify(c3*facteur): ds:=simplify(sqrt(v1^2+v2^2+v3^2)): s:=a->evalf(Int(ds,tt=0..a,4))/4: d:=a->plot3d([x/s(a)+u*c1/s(a),y/s(a)+u*c2/s(a),(z+2*C)/s(a)+u*c3/s(a)], tt=-a..a,u=-1/3*s(a)..1/3*s(a),grid=[150,2],style=patchnogrid): n:=40:display([seq(d(k*Pi/2.0001/n,50),k=1..n)],orientation=[-60,80],lightmodel=light2,insequence=true);

On obtient donc un ruban de Möbius en faisant tourner régulièrement un segment de longueur constante autour d'un cercle avec une rotation d'un demi-tour ou plus généralement, d'un nombre impair de demi-tours ; ces divers rubans sont homéomorphes, mais non isotopes dans R³ (on ne peut passer continûment de l'un à l'autre), et pour chaque nombre de demi-tour, il existe deux classes d'isotopies, images-miroir l'une de l'autre :
 

	1 demi-tour	3 demi-tours	9 demi-tours
ruban dextre
ruban senestre

Ces surfaces rotoïdales, ne sont pas développables : on ne pourra donc pas les obtenir à partir d'une feuille de papier, sans déchirures ; inversement, le ruban qu'on obtient naturellement avec un rectangle de papier n'a pas de paramétrisation simple ; en voici une due à W. Wunderlich (cf. ci-dessus), dans le cas dextre à un demi-tour :
 

La bande de Möbius-Wunderlich possède la propriété de se développer en un rectangle et de minimiser en tout point l'énergie de déformation. Voir ici des vues stéréoscopiques de ce ruban.

Voici un autre exemple de ruban de Möbius développable de patron rectangulaire, formé de 3 sections cylindriques reliées par des sections planes :
 

Ruban à un demi-tour senestre : l'un des cylindres est de rayon double de l'autre et les sections planes sont parallèles.

Ruban à trois demi-tours dextre. (Réalisation : Alain Esculier)

Voici deux autres rubans de Möbius développables obtenus en juxtaposant des bandes découpées sur des cônes.
 

Les bandes bleue et verte sont découpées des cônes de révolution ; la bande rouge sur deux cônes de révolution ; le patron plan n'est malheureusement pas un rectangle, mais un parallélogramme, d'où le raccord à angle droit.

 

Il s'agit ici d'un ruban de Möbius à 3 demi-tours au lieu de 1, obtenu par trois bandes coniques, les cônes étant de directrice une courbe de Viviani. Le bord est autoparallèle, mais le patron plan n'est pas à bords rectilignes.

 

Ce ruban à deux demi-tours (qui n'est donc pas un ruban de Möbius) est développable puisque tracé sur un cylindre, de base une lemniscate. Son patron n'est pas à bords rectilignes, mais les yeux ont tendance à le penser, d'où notre propension à considérer cette figure comme impossible !   (Réalisation : Alain Esculier)

On peut aussi se demander quels rapport longueur / largeur du patron rectangulaire permettent de construire un ruban de Möbius sans auto-intersection :
 

Voilà déjà un ruban de Möbius à un demi-tour dont le rapport longueur / largeur est légèrement supérieur à 3Ö3 .

Mais avec ce patron vous construirez un ruban de Möbius dont la vue de dessus sera un triangle équilatéral.

 

Ruban de Möbius à 3 demi-tours  ¯	Ruban à 4 demi-tours : ce n'est pas un ruban de Möbius, il a deux faces ! ¯	Ruban de Möbius à 5 demi-tours ¯	Ruban à 6 demi-tours, qui n'est pas un ruban de Möbius ¯
Le même, resserré (presque) au maximum : longueur du ruban = 3Ö3 fois la largeur	Le même, resserré (presque) au maximum	Le même, resserré au maximum	Le même, resserré au maximum

 

Lorsque l'on découpe un ruban de Möbius en son centre, on obtient un seul ruban, mais à deux bords, et à 4 demi-tours (et non 2 demi-tours comme on pourrait le penser) ; si on le découpe au tiers de la largeur, on obtient un ruban de Möbius (au centre) et un ruban à 2 bords enlacés :

Ruban à deux demi-tours, donc homéomorphe à un cylindre, fournissant un revêtement à deux feuillets du ruban de Möbius :   Animation : Daniel Audet

De même que la bouteille de Klein ne peut être représenté dans R³ sans auto-intersection, le ruban de Möbius ne peut être représenté dans le plan sans auto-intersection.
 

Le ruban de Möbius est une surface qui peut être caractérisée par le fait qu’elle possède une seule face (autrement dit elle est unilatère, donc non orientable), un bord unique et qu'elle est de genre 1 (à savoir qu'une courbe fermée tracée dans son intérieur peut la laisser connexe, mais pas deux).

On obtient aussi un ruban de Möbius
     - en identifiant les côtés opposés d’un rectangle avec inversion du sens.
 

On coud 2 côtés opposés dans le même sens : on obtient un ruban simple (ou un cylindre tronqué)

On coud 2 côtés opposés dans le sens contraire : on obtient un ruban de Möbius.

On coud les côtés opposé entre eux dans le même sens : on obtient un tore.

On coud les côtés opposés  , un couple dans le même sens, l'autre en sens contraire : on obtient une bouteille de Klein

On coud les côtés opposés en sens contraires : on obtient un plan projectif.

       - en identifiant les points diamétralement opposés du bord d'un disque (voir ci-dessous des schémas tirés de cette page  illustrant le passage entre le ruban classique et ce disque) :

    - en perçant d'un trou (ouvert) un plan projectif réel , c'est pourquoi un bonnet croisé percé est un ruban de Möbius (ou plutôt une immersion d'un ruban de Möbius, à cause de l'auto-intersection) :

Le nombre chromatique du ruban de Möbius est donc celui du plan projectif, à savoir : 6.

Dans cette carte à 6 pays tracée sur le ruban de Möbius, chaque pays touche les 5 autres ; 6 est le maximum possible, et toute carte pourra être coloriée avec 6 couleurs au plus.

Lorsque l'on coud bord à bord deux rubans de Möbius, on obtient la somme connexe de deux plans projectifs réels, à savoir une bouteille de Klein.
 

+

=

Le ruban de Möbius sans son bord est appelé le ruban de Möbius ouvert ; il est homéomorphe au plan projectif moins un point.
 
 

Le ruban de Möbius peut être représenté par une réunion de trois polygones non coplanaires, forcément non convexes, comme ci-contre (voir le polyèdre de Brehm) :

Voir aussi le bord du ruban de Möbius à 3 demi-torsions, qui est un noeud de trèfle et le faux ruban de Möbius sur le tore.

Le graveur M.C. Escher a beaucoup travaillé sur le ruban de Möbius :
 

Le célèbre ruban de Möbius d'Escher.

Un autre ruban de Möbius d'Escher, senestre à trois demi-tours, découpé en son centre ; il obtient ainsi un seul ruban, noué en noeud de trèfle, à 6 demi-tours.

 

Il s'agit, ici d'un ruban à 2 demi-tours, donc à deux faces (d'où les cygnes noirs et blancs), mais la fusion centrale en fait un ruban de Möbius, comme pour le slip de Möbius.

Exactement même principe pour ces célèbres cavaliers.

 

Ruban de Möbius tressé avec un seul brin par Juan Pablo Baudry :

Comme pour les anneaux de Borromée, la symbolique du ruban de Möbius est forte, d'où les nombreux logos :

Logo des produits recyclés (cf. le ruban à 3 cylindres ci-dessus)

Logo de l'institut suisse de la propriété intellectuelle, dont l'intitulé est écrit dans les 4 langues nationales.

Logo d'une université allemande (ruban senestre à 3 demi-tours)

.  Société mathématique canadienne

Le logo de Renault est un ruban à deux demi-tours, donc n'est pas un ruban de Möbius

Regardez aussi le pied de ce moniteur Apple !

© Robert FERRÉOL , Jacques MANDONNET , Samuel BOUREAU, Alain ESCULIER 2008