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DÔME GÉODÉSIQUE
Geodesic dome, Geodätischer Dom

Premier dôme géodésique construit par Walter Bauersfeld en 1922 ; structures étudiées par l'architecte Richard Buckminster Fuller dans les années 1940 ainsi que par les biologistes M. Goldberg, D. Caspar, et A. Klug en 1962.
Références pour cette page : 
Ian Stewart, construisez votre Virus, pour La Science N° 132, Octobre 1988
article Wikipédia
Site sur les virus

Voir aussi l'oeuf de Pâques d'Egreville

Logiciel de construction des dômes géodésiques réalisé par Georges Perrotte :
décompacter le fichier et placer tous les éléments dans un même répertoire.

Programme maple donnant les images de cette page réalisé par Gérard Lavau.

On désigne par dômes géodésiques les polyèdres.inscriptibles à faces triangulaires et sommets de degrés 5 ou 6, ainsi que les polyèdres duaux de ces derniers, autrement dit les polyèdres circonscriptibles à sommets de degré 3 et à faces hexagonales ou pentagonales.

On montre à l'aide de la relation d'Euler que les dômes géodésiques à faces triangulaires ont exactement 12 sommets de degré 5 (et que donc leurs duaux ont exactement 12 faces pentagonales).

Voici une méthode due à M. Goldberg, D. Caspar, et A. Klug donnant une famille infinie de dômes géodésiques ayant le plus de régularité possible, en partant d'un icosaèdre régulier (qui fournit les 12 sommets de degré 5) :
Étant donné deux entiers naturels a et b on partage chaque arête de l'icosaèdre en a + b  segments égaux.
Après avoir orienté chacun des triangles de l'icosaèdre dans le même sens, on joint chaque sommet de chaque triangle au point du côté opposé partageant ce côté en a segments à sa droite, et b segments à sa gauche (ci-contre, a = 3 et b = 2). Puis on trace dans chaque face tous les segments parallèles à ce segment passant par les autres points marqués sur les côtés.
On projette les points d'intersections de ces segments sur la sphère circonscrite : ce sont les sommets du dôme géodésique ; chaque sommet est relié par une arête à ses voisins. 
Il est à noter que contrairement aux apparences, les triangles du dôme géodésique ne sont pas équilatéraux (du reste, il n'existe qu'un nombre fini de polyèdres convexes à faces triangulaires équilatérales).
Construction du dôme de type (3,2)

On montre alors que le rapport du nombre de faces du dôme au nombre de faces de l'icosaèdre est égal à D = a² + ab + b², nombre appelé "densité" du dôme.

Voici les premiers exemples, avec b, car les dômes de type (a,b) et de type (b, a) sont images miroir l'un de l'autre :
 
type : (a, b) =
(1, 0)
(1, 1)
(2, 0)
(2, 1)
Nom icosaèdre pentaki-dodécaèdre    
D = a² + ab + b² 1 3 4 7
sommets de degré 6 :
10(D - 1)
0 20 30 60
faces : 20D 20 60 80 140
virus  
mosaïque du chou-fleur
bactériophage R
papillome
constructions
radars

station climatique greennpeace
 
dual
Dodécaèdre

ballon de foot


triacontaèdre rhombique tronqué

 
type  (a, b)
(3, 0)
(2, 2)
(3, 1)
(4, 0)
vue
D = a² + ab + b² 9 12 13 16
sommets de degré 6 :
10(D - 1)
80 110 120 150
faces : 20D 180 240 260 320
virus réovirus     herpès, varicelle
constructions
Dôme de télécommunications dans l'Antarctique
 
Réalisation de Robert March et ses élèves
dual

 

Ex pavillon états-unien à l'expo 67 de Montréal, abritant actuellement le musée de l'environnement.
Dôme géodésique de type (16, 0).

La géode, Cité des Sciences à Paris.
Dôme géodésique de type (20, 0)

 
 
Haystack Observatory  : ne rentre pas dans le cadre de cette page ; il y a des sommets de degrés 5, 6, 7 et 8.
Voir aussi le dôme d'Osaka.

Aulonia hexagona


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© Robert FERRÉOL 2011