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DODÉCAÈDRE
Dodecahedron, Dodekaeder


Anaglype à regarder avec des lunettes rouge (à gauche) et bleu (à droite)


Du grec "Dodeka" douze et "edros" siège, base.
Vues Povray de cette page réalisées par Alain Esculier.
Lien : mathematische-basteleien.de/pentagondodekaeder.htm

Un dodécaèdre est un polyèdre à 12 faces.

Il existe plus de 6 millions de  types de dodécaèdres différents dont voici la répartition suivant le nombre de sommets :
 
Nombre de sommets 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Nombre de dodécaèdres 14 558 8822 64439 268394 709302 1263032 1556952 1338853 789749 306470 70454 7595

Le plus célèbre est le dodécaèdre régulier (20 sommets) dont on trouvera ci-dessous la carte de visite, mais il y a aussi le dodécaèdre rhombique (14 sommets), le triaki-tétraèdre (8 sommets) et le dodécadeltaèdre (8 sommets) ; Voir ici une liste plus complète.
 
 
Famille polyèdres réguliers
Historique 10 siècles av. JC, les Étrusques utilisaient des dés dodécaèdriques ; solide décrit par Platon en 370 av. J.C.
Dual icosaèdre régulier¬ dual polaire du dodécaèdre par rapport à sa sphère circonscrite
Faces 12 pentagones réguliers
Sommets 20 sommets de degré 3, de code de Schläfli 53
Arêtes 30 arêtes de longueur a ; angle dièdre : rd, soit 116° 33' 54"
Patron (il y en a 43380 en tout !)
Graphe
      Comparer avec une citadelle de Vauban ! 
Ce graphe n'est pas semi-eulérien (il n'y a pas de chemin passant une fois exactement par chaque arête) mais il est hamiltonien : il existe un chemin fermé passant une fois exactement par chaque sommet ; voir la réponse plus bas.
Ses faces sont coloriables avec au minimum 4 couleurs.
Diamètres sphère inscrite ; intersphère (tangente aux  arêtes) ;
sphère circonscrite où  est le nombre d'or.
Mensurations volume :     aire : 
coefficient isopérimétrique : 
Coordonnées 
des sommets
(voir le repère dans 
la première vue ci-dessus)
12 sommets  permutés circulairement, et 8 sommets d'un cube 
2 sommets étant reliés par une arête ssi leur distance vaut a.
Constructions
n°1 : comme dual de l'icosaèdre.
n°2 :  cube augmenté de 6 "toits"
 les faites sont les largeurs de 3 rectangles perpendiculaires 
entre eux dont les côtés sont proportionnels 
au nombre d’or et à l’inverse du nombre d’or.

voir aussi l'anaglyphe en haut de page

Le toit de faîte [KH] surmontant le carré ABCD 
est entièrement défini par le fait que ses arêtes 
([AH], [KH], etc) ont même longueur et forment 
entre elles des angles égaux (AHB = AHK etc).
n° 3 : comme cube tronqué aux arêtes (construction équivalente à la précédente) : voir une animation ci-dessous.
Plans de symétrie 15
Axes de rotation
6 axes passant par 2 centres de faces opposées (4 rotations d'ordre 5 par axe)

15 axes passant par les milieux de 2 arêtes opposées (1 rotation d'ordre 2 par axe)
10 axes passant par 2 sommets opposés (2 rotations d'ordre 3 par axe)
Groupe des isométries ordre 120 : 60 rotations (l'identité, 12 cinquièmes de tours, 12 deux cinquièmes de tours, 20 tiers de tours, 15 demi-tours) et 60 antirotations (produits des précédentes par la symétrie de centre O, dont 15 réflexions)
Le sous-groupe des 60 rotations est isomorphe au groupe A5  des permutations paires de 5 objets (action sur un ensemble de 5 tétraèdres réguliers inscrits).
Polyèdres dérivés par troncature forte : icosidodécaèdre
par troncature faible : dodécaèdre tronqué  ; 
par facettage : icosidodécaèdre tronqué ;
par augmentation : pentaki-dodécaèdre, triacontaèdre rhombique.
le grand dodécaèdre étoilé à les mêmes sommets que le dodécaèdre.
voir aussi l'hyperdodécaèdre et les surfaces de Goursat.

 
Animation de la construction du dodécaèdre par troncature des douze arêtes du cube (fournissant les douze faces du dodécaèdre). Une construction approchée très simple :
prendre un cube (qui fournit 8 sommets du dodécaèdre) et le faire tourner de 45° autour d'une diagonale (cela fournit 6 autres sommets) et compléter les 6 sommets restants par symétrie.
En fait l'angle de rotation exact est  valant environ 44,5°.
Si on effectue ces rotations pour chaque diagonale du cube, on on obtient un composé de 5 cubes dont les sommets sont ceux du dodécaèdre régulier et les arêtes celles du petit icosidodécaèdre ditrigonal et deux de ses cousins.

Voici un cycle hamiltonien du graphe du dodécaèdre ; on peut montrer que c'est le seul, à isométrie du dodécaèdre près.

 
Projection centrale du squelette du dodécaèdre sur la sphère circonscrite : on obtient un pavage régulier de la sphère par 12 pentagones sphériques réguliers ; remarquons qu'il est impossible de paver le plan avec des pentagones réguliers !

 
Le dodécaedre étant le polyèdre régulier ayant le maximum de sommets, le nombre maximal de calottes sphériques que l'on peut placer sur la sphère de sorte que chacune soit tangente à un même nombre d'autres calottes est égal à 20, et leurs centres sont au sommet d'un dodécaèdre régulier.
Cependant, cette configuration ne donne pas la réponse au problème des dictateurs ennemis dans le cas n = 20, problème demandant comment sont disposées sur une sphère n calottes sphériques identiques (les états de chaque dicateur) de taille maximale et ne se chevauchant pas. On sent bien qu'il y a encore beaucoup de bleu par rapport au rouge... 
On ne connait pas actuellement la configuration optimale.
Sources : Marcel Berger, Pour la Science 176, p. 72 et dossier Pour la Science 41 p. 40.

 
Polyèdre composé formé du dodécaèdre et de l'icosaèdre dual polaire par rapport à la sphère tangente aux arêtes ; la partie commune est l'icosidodécaèdre. L'enveloppe des sommets est le triacontaèdre rhombique.

 

Dodécaèdre avec pavage d'Escher

Foot et dodécaèdre...

 
 

Superbe casse-tête dodécaédrique

Vu au Trait en Seine Maritime


La Cène vue par Dali


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© Robert FERRÉOL 2009