COURBE DE VIVIANI
Viviani's curve, Vivianische Kurve
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COURBE DE VIVIANI
Viviani's curve, Vivianische Kurve
| Courbe étudiée par Roberval et Viviani
en 1692.
Vincenzo Viviani (1622-1703) : mathématicien italien. Autre nom : vivianienne. Nom initial donné par Roberval : cyclo-cylindrique. |
Système d’équations cartésiennes
:  .
Système d’équations sphériques : 
(longitude = latitude).
Paramétrisation cartésienne : 
(où  )
ou : 
(avec  ),
forme utilisée dans la suite.
Biquadratique
(quartique de première
espèce) rationnelle.
|
La courbe de Viviani est l’intersection d'une sphère
de rayon R (ici, 
)
et d'un cylindre de révolution de diamètre
R dont
une génératrice passe par le centre de la sphère (ici, 
)
; c’est donc un cas particulier d’hippopède,
une courbe à la fois sphérique
et cylindrique, ainsi qu'un
cas particulier de rosace
conique.
On obtient donc une fenêtre de Viviani en plantant la pointe d’un compas à l'intérieur d'un cylindre de révolution et en traçant sur ce cylindre un “cercle” de même rayon que le diamètre du cylindre.
La courbe de Viviani est aussi incluse dans un cône
de révolution dont l'axe est une génératrice du cylindre
ci-dessus (ici, 
),
et dans un cylindre parabolique (ici, 
),
ce qui donne en tout 6 définitions de la courbe de Viviani comme
intersection de 2 quadriques, et 3 définitions par le mouvement
d'un compas sur un cylindre de révolution, un cône de révolution,
ou un cylindre parabolique.
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La courbe de Viviani est aussi une portion de la section de la surface de Möbius avec une sphère (section comportant aussi un grand cercle de la sphère). |
| Le système d’équations sphériques
montre que la courbe de Viviani est un cas particulier de clélie.
Elle est donc le lieu d’un point M d’un méridien d’une sphère tournant à vitesse constante autour de l’axe polaire, le point M se déplaçant à la même vitesse sur ce méridien. |
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| Le système d’équations cylindriques montre
que la courbe de Viviani est aussi un cas particulier de couronne
sinusoïdale.
Si donc l'on développe le cylindre sur lequel est
tracée la courbe de Viviani, on obtient une période de sinusoïde
: |
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Les projections sur les plans xOy, xOzet
yOz
sont respectivement un cercle, un arc de parabole et une
lemniscate
de Gerono.
  
Les projections sur des plans passant par Oz (voir
ci-contre) sont les besaces,
qui sont donc des perspectives de la courbe de Viviani.
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La projection stéréographique de pôle
nord (ou sud) est la strophoïde
droite d’équation :  . |
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| La projection stéréographique de pôle le point diamétralement opposé au point double est la lemniscate de Bernoulli . |  |
La projection gnomonique (de centre O) est un kappa.
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Comme vu ci-dessus, la portion de 1/2 sphère située
en dehors de deux fenêtres de Viviani symétriques a une aire
dont le rapport à R² est rationnel, contrairement à
l'aire de la 1/2 sphère ; Viviani l'avait nommée : vela quadrabile
fiorentina (voile florentine dont on peut réaliser la quadrature).
(Exemple de vela quadrabile fiorentina en architecture ?) |
Voir aussi à surface
d'égale pente, ainsi que le
cône de centre O s'appuyant sur la courbe de Viviani,
que l'on pourrait dénomer "cône de Viviani".
 (lignes de coordonnées de la paramétrisation  )
Voir aussi le cône paramétré par des courbes de Viviani. |
Musée maritime d'Osaka, dôme construit sur ce modèle (architecte P. Andreu) |
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© Robert FERRÉOL , Jacques MANDONNET 2013
.
)
où A(a, 0, 0) : 
.
et R, exprimée par une intégrale elliptique, 
.
; contrairement à celle du cercle, la quadrature de la surface complémentaire
de la fenêtre de Viviani sur la sphère est possible (aire
= 8 R²).
;
si l'on retire donc deux temples de Viviani symétriques à
la sphère, la cubature du solide restant (de volume 
)
est possible.
, avec 
.
On obtient donc facilement une fenêtre de Viviani en découpant
dans du papier la figure formée par deux arches de sinusoïde
en vis-à-vis et en enroulant la feuille pointe contre pointe.