Notion étudiée par Dupin. Du grec asumptôtos "qui ne s'affaisse pas".

 

Équation différentielle :  équivalente à  où  est le vecteur normal à la surface en M ; soit  (annulation de la deuxième forme quadratique fondamentale). Equation cylindrique des lignes asymptotiques de la surface de révolution : : .

Les (lignes) asymptotiques d’une surface, qui sont intuitivement les lignes les moins courbées tracées sur la surface, possèdent trois définitions équivalentes :

DEF 1 :  ce sont les courbes tracées sur la surface qui sont tangentes en chaque point à l'une des directions asymptotiques (c'est-à-dire l'une des directions où la courbure est nulle ou encore l'une des asymptotes de la conique indicatrice de Dupin relative à ce point ou l’axe de celle-ci lorsqu’elle se réduit à deux droites parallèles).

DEF 2 : ce sont les courbes tracées sur la surface à courbure normale (c’est-à-dire la courbure de la section de la surface par le plan contenant la tangente à la courbe et la normale à la surface - voir les notations) constamment nulle. Cela équivaut à ce que la courbure géodésique soit égale à la courbure.

DEF 3 : ce sont les courbes tracées sur la surface telles qu'en chaque point, le plan tangent à la surface est osculateur à la courbe (autrement dit, les repères de Frénet et de Darboux coincident).

DEF 3 bis (point de vue cinématique) : ce sont les trajectoires d'un mobile se déplaçant sur la surface de sorte que le vecteur accélération est à tout instant dans le plan tangent à la surface.

Les lignes asymptotiques ne passent que par des points hyperboliques (en lesquels il en passe deux) ou paraboliques (en lesquels il n’en passe qu’une) de la surface ; elles sont tangentes en chaque point à la section de la surface par le plan tangent au point considéré.

Exemples :
     - les droites incluses dans la surface sont des lignes asymptotiques (voir par exemple le cas du paraboloïde hyperbolique)
     - pour une surface développable, les lignes asymptotiques sont les génératrices et elles seules.
     - une surface est minimale ssi par tout point passent deux lignes asymptotiques orthogonales.
    - voir sur les pages correspondantes les lignes asymptotiques du tore, du caténoïde, du conoïde de Plücker, de l'hélicoïde droit.

Voir aussi les pseudo-géodésiques, dont le plan osculateur fait un angle fixé avec le plan tangent (angle nul dans le cas des asymptotiques).
 

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© Robert FERRÉOL   2018