Nombre de Betti d'une surface

NOMBRE DE BETTI D'UNE SURFACE
Betti number of a surface, Bettinummer einer Fläche

Notion définie par le mathématicien italien Enrico Betti (1823 - 1892), nom donné par Poincaré.
Voir :
- article de Martin Gardner de juillet 1963 dans Scientific American
- article d'André de Léan de 2026

Considérons une surface (i.e. un espace topologique dont tout point possède un voisinage homéomorphe au plan ou au demi-plan fermé) connexe ; une coupure de cette surface est une courbe fermée simple ou courbe simple joignant deux points du bord de la surface.

Le nombre de Betti (d'indice 1) est alors défini comme suit : si toute coupure de la surface fait apparaître deux composantes connexes, le nombre de Betti est nul. Si au contraire une coupure a un complémentaire connexe, le nombre de Betti est égal à 1 plus le nombre de Betti de ce complémentaire.
Cette notion est topologique : deux surfaces n'ayant pas le même nombre de Betti ne sont pas homéomorphes.
Note : il existe deux autres nombres de Betti, d'indice 0 et 2, égaux à 1 pour une surface connexe.

Exemples :

Le nombre de Betti du plan, d'un disque, ou d'une sphère est nul.
Toute coupure le déconnecte.

Le nombre de Betti d'un tube (ou d'une bande circulaire) est égal à 1 (on peut le découper d'un bord à l'autre,
il reste d'un seul tenant ; la surface obtenue est de nombre de Betti nul).
Reste connexe après 1 coupure, pas 2.

Le nombre de Betti du tore est égal à 2 : on peut le découper sans le déconnecter, et on obtient un tube de nombre de Betti égal à 1.
Reste connexe après 2 coupures, pas 3.

Le nombre de Betti du ruban de Möbius est égal à 1 : une coupure bord à bord donne un rectangle, homéomorphe au disque. Reste connexe après 1 coupure, pas 2.

Le nombre de Betti de la bouteille de Klein (ici vue en tore sinusoïdal) est égal à 2 : une coupure peut donner un ruban de Möbius
Reste connexe après 2 coupures, pas 3.

Le nombre de Betti du plan projectif (ici vu en bonnet croisé) est égal à 1 : la coupure ci-contre donne un disque (possédant bien deux faces et un bord).
Reste connexe après 1 coupure, pas 2.

Le nombre de Betti du tore à n trous est égal à 2n, le double de son genre.
Le tore à deux trous ci-contre reste connexe après ces 4 coupures roses, mais serait déconnecté par une autre coupure.

Le nombre de Betti de la sphère munie de n bonnets croisés est égal à n qui est aussi son genre ; par exemple 3 pour la surface de Dyck.

surface suivante surface précédente courbes 2D courbes 3D surfaces fractals polyèdres

Le nombre de Betti du plan, d'un disque, ou d'une sphère est nul.	Toute coupure le déconnecte.
Le nombre de Betti d'un tube (ou d'une bande circulaire) est égal à 1 (on peut le découper d'un bord à l'autre, il reste d'un seul tenant ; la surface obtenue est de nombre de Betti nul).	Reste connexe après 1 coupure, pas 2.
Le nombre de Betti du tore est égal à 2 : on peut le découper sans le déconnecter, et on obtient un tube de nombre de Betti égal à 1.	Reste connexe après 2 coupures, pas 3.
Le nombre de Betti du ruban de Möbius est égal à 1 : une coupure bord à bord donne un rectangle, homéomorphe au disque.	Reste connexe après 1 coupure, pas 2.
Le nombre de Betti de la bouteille de Klein (ici vue en tore sinusoïdal) est égal à 2 : une coupure peut donner un ruban de Möbius	Reste connexe après 2 coupures, pas 3.
Le nombre de Betti du plan projectif (ici vu en bonnet croisé) est égal à 1 : la coupure ci-contre donne un disque (possédant bien deux faces et un bord).	Reste connexe après 1 coupure, pas 2.
Le nombre de Betti du tore à n trous est égal à 2n, le double de son genre. Le tore à deux trous ci-contre reste connexe après ces 4 coupures roses, mais serait déconnecté par une autre coupure.
Le nombre de Betti de la sphère munie de n bonnets croisés est égal à n qui est aussi son genre ; par exemple 3 pour la surface de Dyck.