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LIMACON TRISECTEUR
Trisector limacon, Trisektionsschnecke

Courbe étudiée par Archimède, et Etienne Pascal en 1730.
Autre nom : sesquisectrice (Aubry).

 
Équation polaire : .
Équation polaire dans le repère (A(a,0), ) : .
Aire :  ; aire de la boucle intérieure : .

 
Le limaçon trisecteur est le lieu des points d'intersection de deux droites tournant chacune uniformément autour d'un point, l'une des droites ayant une vitesse égale à une fois et demi celle de l'autre (d'où le nom de sesquisectrice) ; c'est donc un cas particulier de sectrice de Maclaurin.

 

L'angle  est donc égal au 2/3 de , d'où l' on déduit la propriété de trisection : l'angle OMA est le tiers de l'angle BAM.

Les inverses du limaçon trisecteur par rapport aux deux pôles A et à savoir l'hyperbole d'excentricité 2 et la trisectrice de Mac-Laurin, sont donc deux autres courbes trisectrices.

Comme son nom l'indique, le limaçon trisecteur est un limaçon de Pascal : c'est la conchoïde du cercle par rapport à son centre, avec un module égal à la moitié du rayon du cercle, et donc aussi une médiane polaire de deux cercles, ainsi qu'une podaire de cercle et une épitrochoïde :
 
 
limaçon trisecteur comme médiane deux cercles (donc aussi cissoïdale)
limaçon trisecteur comme podaire de cercle
limaçon trisecteur comme épitrochoïde.

Le limaçon trisecteur est aussi la podaire de la cardioïde par rapport au centre de son cercle conchoïdal.

La deuxième équation ci-dessus montre enfin que c'est une rosace.
 
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© Robert FERRÉOL, Jacques MANDONNET 2004