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PODAIRE D'UNE COURBE
Pedal of a curve, Fusspunktskurve einer Kurve
En bleu l'antipodaire, en rouge la podaire

Notion étudiée par Maclaurin en 1718 puis par Terquem.
Du grec, pous, podos "pied".

 
Si M0 est le point courant de (G0), le point courant M de la podaire est défini par  ce qui donne :
en cartésien,  en complexes, et 
en polaire, avec  ; on a alors  (voir les notations).
Si l'équation tangentielle de (G0) est f(u, v, w) = 0 (ce qui signifie que f(u, v, w) = 0 est une condition pour que la droite  soit tangente à (G0)), l'équation polaire de la podaire par rapport à O est  et son équation cartésienne est .
Si l'équation podaire de la courbe (G0) est : , celle de sa podaire est : .

La podaire d'une courbe (G0) par rapport à un point O (ou de pôle O) est le lieu des pieds des perpendiculaires issues de O aux tangentes à la courbe (G0).
 
 
C'est donc aussi l'enveloppe des cercles de diamètre [OM0], M0 décrivant (G0) (propriété donnant une construction de la normale donc de la tangente à la podaire).
Démontrez que  !

C'est enfin linverse par rapport à tout cercle de centre O de la polaire de (G0) par rapport à ce cercle.
La podaire est homothétique de l'orthotomique.

La courbe dont une courbe est la podaire s'appelle l'antipodaire.

Exemples :

- Il y a identité entre les podaires de parabole par rapport à un point autre que le foyer, les courbes cissoïdales dun cercle et dune droite relativement à un point du cercle, et les cubiques circulaires rationnelles ; plus précisément : la podaire par rapport à O de la parabole de foyer F et de tangente au sommet (T) est la courbe cissoïdale de pôle O du cercle de diamètre [OF] et de la droite (D) image de (T) par la translation de vecteur .

- Il y a identité entre les podaires de conique à centre, les courbes cissoïdales de deux cercles relativement à un point dun des cercles, et les quartiques bicirculaires rationnelles.
 

Autres exemples regroupés en tableau :
 
antipodaire
(ou orthocaustique)
pôle (position par rapport à l'antipodaire) pôle (position par rapport à la podaire) podaire
droite quelconque quelconque point (projeté du pôle sur la droite)
parabole foyer extérieur à la droite droite (tangente au sommet de la parabole)
" autre que le foyer point singulier cubique circulaire rationnelle
" à l'intérieur de la parabole point isolé cubique circulaire rationnelle acnodale
" sur la partie interne de l'axe de la parabole   cubique de Sluze
" au milieu du segment [SF] point isolé visiera
" sur la parabole point de rebroussement cissoïde
" au sommet point de rebroussement cissoïde droite
" à l'extérieur de la parabole point double cubique circulaire rationnelle crunodale
" sur la tangente au sommet point double ophiuride
" sur la directrice point double strophoïde
" pied de la directrice point double strophoïde droite
" symétrique du foyer par rapport à la directrice  point double trisectrice de Maclaurin
conique à centre foyer extérieur au cercle cercle (principal de la conique)
" différent du foyer point singulier réel quartique  bicirculaire rationnelle
" centre point singulier réel courbe de Booth
cercle extérieur au cercle point double limaçon de Pascal à boucle
" sur le cercle point de rebroussement cardioïde
" intérieur au cercle point isolé limaçon de Pascal sans boucle
" centre centre même cercle
hyperbole équilatère centre point double lemniscate de Bernoulli
cubique de Tschirnhausen foyer (au 8/9 ème du bipoint (point double, sommet)) foyer parabole
cissoïde de Dioclès point de coordonnées (4a, 0) sommet cardioïde
cardioïde point de rebroussement sommet de la boucle sextique de Cayley
cardioïde centre du cercle conchoïdal sommet de la boucle limaçon trisecteur
cardioïde point de coordonnées (-a,0) point triple néphroïde de Freeth
deltoïde quelconque   folium
deltoïde à l'intérieur de la deltoïde   trifolium
deltoïde sur un axe de symétrie de la deltoïde   folium droit
deltoïde sur la deltoïde   bifolium
deltoïde centre   trifolium régulier 
deltoïde point de rebroussement   folium simple
deltoïde sommet   bifolium régulier
cycloïde à centre centre centre rosace
astroïde quelconque   scarabée
astroïde centre centre rosace à quatre branches
spirale sinusoïdale de paramètre n = 1/m centre centre spirale sinusoïdale  de paramètre n/(n+1) = 1/(m1)
spirale logarithmique centre centre spirale logarithmique
développante de cercle centre centre spirale d'Archimède
spirale hyperbolique centre centre spirale tractrice
spirale de Norwich centre centre spirale de Galilée 
croix de malte centre centre oeuf double
courbe de Talbot centre centre ellipse
développée de conique à centre foyer   courbe de Jerabek

Citons le beau théorème de Steiner-Habich :
Si une courbe (C) roule sur une droite (D), et si (R) est la roulette décrite par un point M du plan de cette courbe, alors on peut faire rouler un exemplaire de la podaire (P) de (C) par rapport à M sur (R), de sorte que le point M décrive la droite (D).
Le couple ((R), (P)) est alors un couple roue-route. Voir de très nombreux exemples sur ce dernier lien.

On définit aussi la contre-podaire de (G0) par rapport à O comme le lieu des pieds des perpendiculaires issues de O aux normales à (G0). La contre-podaire n'est alors autre que la podaire de la développée.

Voir aussi les surfaces podaires.
 
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© Robert FERRÉOL, Jacques MANDONNET 2012