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ÉPITROCHOÏDE
Epitrochoid, Epitrochoide

Du grec epi "sur" et trokhos  "roue".
Applet pour tracer des épitrochoïdes : www.wordsmith.org/~anu/java/spirograph.html

 
 
Paramétrisation complexe : , soit a  est le rayon du cercle de base, b = a / q  celui du cercle roulant et d = k b la distance du point au centre du cercle mobile.
Paramétrisation cartésienne : .
Paramétrisation polaire : .
Les épitrochoïdes sont les courbes décrites par un point lié à un cercle (C) roulant sans glisser sur un cercle de base (C0), les disques ouverts de frontières (C) et (C0) étant disjoints ; ce sont donc les courbes que l'on obtient avec un spirographe avec disque externe.

www.math.psu.edu/dlittle/java/parametricequations/spirograph/index.html

Autrement dit, ce sont aussi les roulettes d'un mouvement plan sur plan dont la base est un cercle et la roulante un cercle extérieur au premier.

Pour d = b, soit k = 1, on obtient les épicycloïdes.
Pour d = a + b, on obtient les rosaces .

Pour k < 1, la courbe s'appelle aussi épicycloïde raccourcie.
Pour k > 1, la courbe s'appelle aussi épicycloïde allongée.
 
 
Toute épitrochoïde est aussi une péritrochoïde (propriété dite "de double génération") : cercle fixe de rayon , cercle mobile de rayon  et distance du point au centre du cercle mobile d' = a + b.

 
 
Pour  k = q + 1 (soit d = a + b)), on obtient une rosace d'indice n < 1 , d'équation polaire .

 
On peut aussi définir les épitrochoïdes comme les trajectoires dun mouvement qui est composé de deux mouvements circulaires de même sens et de vitesses angulaires distinctes, de paramétrisation complexe :  () ; ce sont des épicycloïdes si , des épicycloïdes allongées si  des épicycloïdes raccourcies si (on peut alors prendre , d = r2, donc ).

Le premier bras a une vitesse angulaire (par rapport au plan fixe) quadruple de celle du deuxième : on obtient une épitrochoïde de paramètre q = 4 - 1 = 3.
L'écriture donne l'interprétation suivante des épitrochoïdes : si deux corps sont en rotation uniforme et de même sens dans un plan fixe, la trajectoire apparente de l'un dans un plan lié au deuxième et en translation par rapport au plan fixe est une épitrochoïde.
En approximant les mouvements des planètes autour du soleil à des mouvements circulaires uniformes et coplanaires, on peut donc considérer que les trajectoires apparentes des planètes les unes par rapport aux autres sont des épitrochoïdes (voir cette page).
Ci-contre, esquisse réalisée par Kepler dans l'Astronomia nova, représentant l'évolution des lacets de l'orbite de Mars depuis la terre.

Forme des courbes dans les différents cas :
 
Valeur de q
Valeur de 
 
1
2
limaçons de Pascal
2
3
3
4
4
5
5
6
3/2
5/2
 4/3
7/3

Les épitrochoïdes sont aussi des projections planes des courbes de Caparéda, ou courbes des satellites, ainsi que des courbes de pércession constante.

Les épitrochoides réunies avec les hypotrochoïdes constituent les trochoïdes à centre (voir aussi une généralisation sur cette page).
 
 
Courroie d'engrenage mise en forme d'épitrochoïde  par Lévi Capareda pendant un cours de sciences industrielles...
p = 4, k = 4

p = 4, k = 4
Idem avec q = 2 (folium de Dürer)

 

 
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© Robert FERRÉOL, Jacques MANDONNET 2011