Paramétrisation complexe : , soit  où a  est le rayon du cercle de base, b = a / q  celui du cercle roulant et d = k b la distance du point au centre du cercle mobile. Paramétrisation cartésienne : .

Les épitrochoïdes sont les courbes décrites par un point lié à un cercle (C) roulant sans glisser sur un cercle de base (C0), les disques ouverts de frontières (C) et (C0) étant disjoints ; ce sont donc les courbes que l'on obtient avec un spirographe avec disque externe.   http://www.math.dartmouth.edu/~dlittle/java/SpiroGraph/

Autrement dit, ce sont aussi les roulettes d'un mouvement plan sur plan dont la base est un cercle et la roulante un cercle extérieur au premier.

Pour d = b, soit k = 1, on obtient les épicycloïdes.
Pour d = a + b, on obtient les rosaces .

Pour k < 1, la courbe s'appelle aussi épicycloïde raccourcie.
Pour k > 1, la courbe s'appelle aussi épicycloïde allongée.
 
 

Toute épitrochoïde est aussi une péritrochoïde (propriété dite "de double génération") : cercle fixe de rayon , cercle mobile de rayon  et distance du point au centre du cercle mobile d' = a + b.

 
 

Pour  k = q + 1 (soit d = a + b)), on obtient une rosace d'indice n < 1 , d'équation polaire .

On peut aussi définir les épitrochoïdes comme les trajectoires d’un mouvement qui est composé de deux mouvements circulaires de mêmes sens et de vitesses angulaires distinctes, de paramétrisation complexe :  () ; ce sont des épicycloïdes si , des épicycloïdes allongées si  des épicycloïdes raccourcies si  (on peut alors prendre , , d = r₂, donc ).
Lorsque , soit q = 1, on obtient les limaçons de Pascal.
Autres exemples :
 

q = 2
q = 3
q = 4
q = 5
q = 3/2
q = 4/3

Les épitrochoides réunies avec les hypotrochoïdes constituent les trochoïdes à centre (voir aussi une généralisation sur cette page).

Esquisse réalisée par Kepler dans l'Astronomia nova, représentant l'évolution des lacets de l'orbite de Mars.

 

courbe suivante

courbe précédente

courbes 2D

courbes 3D

surfaces

fractals

polyèdres

© Robert FERRÉOL, Jacques MANDONNET 2007