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TRISECTRICE DE MACLAURIN
Trisectrix of Maclaurin, Maclaurinsche Trisektrix

Courbe étudiée par Maclaurin en 1742.
Colin Maclaurin (1698-1746) : mathématicien écossais.

 
Équation polaire : .
Équation cartésienne .
Paramétrisation cartésienne rationnelle : .
Cubique circulaire rationnelle droite crunodale.
Équation polaire dans le repère (A(2a,0),  ) : .
Aire de la boucle = aire entre la courbe et l'asymptote = .
Les tangentes en O font des angles de  avec Ox.

 
Deux points O et S étant donnés, la trisectrice de Maclaurin de sommet S (ici S(3a, 0)) et de point double O est le lieu des points M tels que OP =PA = AMA est défini par  et tels que O, P et M sont alignés.
L'angle SOM est le tiers de l'angle SAM d'où le nom de trisectrice : la trisectrice, les points A et S étants connus, tracer une droite passant par A donne le point M, et l'angle SOM fournit le tiers de l'angle SAM.
Maclaurin a imaginé sa courbe à partir d'une méthode de trisection qui était déjà connue des grecs : tracer un cercle (C) de rayon R, de centre A, passant par S et M ; marquer sur une réglette deux points O et P distants de R, faire coulisser O sur la droite (AS) et P sur le cercle (C) : lorsque la réglette passe en M, SOM trisecte l'angle SAM.
Bien que les instruments utilisés soient la rêgle et le compas, ceci n'est pas une construction "à la rêgle et au compas" car les points O et P ne sont pas "construits".
La trisectrice de Maclaurin est donc aussi le lieu des points d'intersection de deux droites tournant uniformément chacune autour d'un point, l'une ayant une vitesse triple de l'autre (voir la généralisation à sectrice de Maclaurin).

Comme toute cubique circulaire rationnelle, la trisectrice de Maclaurin peut aussi être définie comme :
 
 - la cissoïdale de pôle O d’un cercle passant par O et du symétrique par rapport à O de la médiatrice du rayon issu de O (ici cissoïdale du cercle de centre W(2a, 0) passant par O et de la droite x = -a, relativement à O).
- la podaire d'une parabole par rapport au point symétrique du foyer par rapport à la directrice (ici de la parabole de paramètre 2a et de sommet S, d'équation  , par rapport à O).
 - l’inverse d'une hyperbole d'excentricité 2 par rapport à l'un de ses sommets (ici, l'hyperbole de sommets O et (a/3, 0))
D'autre part, la trisectrice de Maclaurin est la polaire de la cardioïde par rapport au centre de son cercle conchoïdal :

De plus, comme toute cubique circulaire rationnelle droite, la trisectrice de Maclaurin se construit aussi
 
- par la méthode de l'équerre de Newton
- comme kiéroïde

L’équation polaire ci-dessus montre que la trisectrice de Maclaurin est aussi un cas particulier d'épi.

Le folium de Descartes n'est autre qu'une trisectrice de Maclaurin dilatée.

Voir aussi www.fh-lueneburg.de/u1/gym03/expo/jonatur/wissen/mathe/kurven/trisektr.htm
 
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© Robert FERRÉOL, Jacques MANDONNET 2011