Courbe élastique

COURBE ÉLASTIQUE
Elastic curve (or elastica), elastische Kurve

0 < k < 1 : pseudo-sinusoïde k = 0
roulette de Sturm équilatère

k1 = -0.65222..... < k < 0
k = k₁ = -0.65222.... : pseudo-lemniscate

-1< k < k₁
k = - 1 : courbe des forçats

k < -1 : pseudo-trochoïde

Dans les figures ci-dessus, la directrice, passant par les points de courbure nulle, est placée horizontalement

Courbe étudiée par Jacques Bernoulli en 1691 qui lui a donné le nom d'elastica, par Euler en 1744, et Poisson en 1833.
Autres nom : lintéaire, radioïde aux abscisses.
Voir sur cette page d'Alain Esculier un programme de tracé de cette courbe.

Les courbes élastiques sont les courbes planes dont la courbure en tout point M est proportionnelle à la distance à une droite, appelée la directrice.

Prenant comme directrice l'axe des y, la condition s'écrit (1) , d'où l'
Équation différentielle : .
(1) s'intègre en soit .
Posant, on obtient la paramétrisation : () Abscisse curviligne : , ou ; rayon de courbure : .

Pour 1 < k < 1 (figure avec k = -1/ 2 : angle tangentiel à l'origine de - 30 °)

Si on utilise la paramétrisation : Si on utilise l'expression explicite :

Paramétrisation cartésienne :
Posant , on obtient la courbe complète par , avec q entier.
Ici, où est l'angle tangentiel à l'origine.
Équation cartésienne : où ;
posant , on obtient la courbe complète par , avec q entier.

Pour k = -1 :

L'intégrale n'est plus elliptique et on a la paramétrisation :
() qui n'est autre que la courbe des forçats, cas particulier de syntractrice.

Pour k < -1 :

Equation cartésienne :
avec et ;
posant , on prolonge la courbe en
, avec q entier.

Le nom de courbe élastique vient de ce que c'est la forme que prend le profil d'une lame élastique rectangulaire à l'équilibre, subissant à chaque extrémité une force située dans son plan médian.

La courbe élastique est aussi le profil d'une bâche rectangulaire remplie d'eau, (elle prend alors le nom de lintéaire), ainsi que la courbe théorique suivie par certaines torpilles.

L'arc de courbe de longueur donnée joignant deux points donnés A et B, dont la rotation autour d'une droite (D) coplanaire avec la droite (AB) engendre un solide de volume maximal, est un arc de lintéaire ; plus mathématiquement, la courbe élastique est solution du problème de calcul des variations : maximal, à constant.

La courbe élastique est aussi la courbe de longueur donnée rendant minimale l'intégrale du carré de la courbure ; elle est donc utilisée dans les tracés de routes entre deux portions rectilignes, d'où son nom de radioïde aux abscisses.

Lorsqu'un point décrit la courbe élastique à vitesse constante, la normale en ce point oscille comme un pendule simple autour de la perpendiculaire abaissée de ce point sur Ox.

Voir sur http://www-sfb288.math.tu-berlin.de/vgp/javaview/demo/PaElasticCurve.html une très belle animation d'une généralisation de ces courbes.

Voir la goutte d'eau pendante, généralisation à l'espace de la courbe élastique.

Si dans l'équation on remplace l'exposant 3/2 par 1/2, on obtient la courbe de la corde à sauter.

Les courbes à motifs ressemblent aux courbes élastiques.

courbe suivante courbe précédente courbes 2D courbes 3D surfaces fractals polyèdres

Si on utilise la paramétrisation :	Si on utilise l'expression explicite :
Paramétrisation cartésienne : Posant , on obtient la courbe complète par , avec q entier.	Ici, où est l'angle tangentiel à l'origine. Équation cartésienne : où ; posant , on obtient la courbe complète par , avec q entier.