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SPIRALE SINUSOÏDALE
Sinusoidal spiral, Sinusspirale

Courbe étudiée par Maclaurin en 1718.
Nom donné par Haton de la Goupillère en 1857 (abrégé parfois en spirale sinusoïde).
Autre nom dans le cas où n est un entier positif : lemniscate à n pôles, ou lemniscate multifocale.

 
Équation polaire de   avec n réel.
Équation complexe : .
Equation différentielle polaire : .
Abscisse curviligne obtenue par :  ou .
Angle tangentiel polaire.
Équation podaire .
Courbe algébrique si et seulement si n est rationnel.

Dans le cas où n est entier positif :
Équation multipolaire : , où  est un n-gone régulier de rayon a.
Équation complexe : .

Dans le cas où n = - m est un entier négatif :
Équation multipolaire :  où  est un m-gone régulier de rayon a.
Équation complexe : .
Longueur :  ; aire : .

Les spirales sinusoïdales sont définies par leur équation polaire ci-dessus.
Lorsque n est un entier positif, les spirales sinusoïdales sont les lieux des points dont la moyenne géométrique des distances aux sommets d'un polygone régulier est égale au rayon de ce polygone ; ce sont donc des cas particuliers de cassiniennes à n pôles.

Lorsque n est un entier négatif, les spirales sinusoïdales sont les lieux des points M tels que la moyenne des angles des droites joignant les sommets d'un polygone régulier à M avec une direction fixe est constante ; ce sont donc des cas particuliers de stelloïdes.

et  sont inverses l'une de l'autre et la podaire de  est .
La construction de la tangente se fait simplement à partir de la relation :  .
Pour n > 0, la courbe est formée d'un motif de base symétrique par rapport à Ox obtenu pour :transformé par toutes les rotations d'angle  pour k entier ; pour n < 0, le motif de base est à asymptotes.

Lorsque n est rationnel, on obtient toute la courbe en effectuant les p - 1 rotations du motif de base pour 1 £ k£ p - 1p est le numérateur de n.
 

Exemples pour n positif :

n = 1 : cercle 

n  = 2 : lemniscate de Bernoulli

n = 3 : courbe de Kiepert.

n = 4

n = 5

n = 1/2 :
cardioïde

 n = 3/2

n = 5/2

n = 7/2

n = 9/2

n  = 1/3 : sextique de Cayley

n = 2/3

n = 4/3

n = 5/3

n = 7/3

n = 1/4

n = 3/4

n = 5/4

n = 7/4

n = 9/4

n = 1/5

n = 2/5

n = 3/5

n = 4/5

n = 6/5

Exemples pour n négatif :

n = -1 : droite x = a

n  = -2 : hyperbole équilatère

n = -3 : cubique de Humbert

n = -4

n = -5

n =- 1/2 : 
parabole y2 = 4a (a - x)

 n = -3/2
Antipodaire centrale de courbe de Kiepert

n = -5/2

n = -7/2

n = -9/2

n  = -1/3 : cubique de Tschirnhausen

n = -2/3
antipodaire centrale de l'hyperbole équilatère

n = -4/3

n = -5/3

n = -7/3

n = -1/4

n = -3/4

n = -5/4

n = -7/4

n = -9/4

n = -1/5

n = -2/5

n = -3/5

n = -4/5

n = -6/5

Comparer avec les rosaces.

La spirale sinusoïdale d'indice n est la ligne de champ du champ complexe (cf. la relation ) :

lignes de champ de 1/z : hyperboles d'indice -2

lignes de champ de Öz : paraboles d'indice -1/2

lignes de champ de z3/2  : cardioïdes d'indice 1/2

lignes de champ de z² : cercles d'indice 1

lignes de champ de z3 : lemniscates d'indice 2

lignes de champ de z4

Voir aussi l'exemple n°6 des trajectoires orthogonales.

La spirale sinusoïdale d'indice n est la trajectoire d'un point matériel de masse m attiré par une force centrale de norme   avec  , lancé en (a, 0) perpendiculairement à Ox avec une vitesse V0 égale à   . Dans le cas normal de la gravitation (a = 2, soit n = -1/2), on obtient la parabole, et la vitesse  V0 est égale à la vitesse de libération (plus petite vitesse de départ pour laquelle le point matériel est envoyé à l'infini). Les cas a = 1 ou 3 (qui donneraient n = -1 ou 0) sont exclus ici ; pour le cas a = 3, voir à spirale hyperbolique, à épi, à spirale logarithmique et à spirale de Poinsot.

Les spirales sinusoïdales sont des projections planes des lignes asymptotiques des conoïdes de Plücker.

La roulette du pôle d'une spirale sinusoïdale d'indice n roulant sur une droite est une courbe de Ribaucour d'indice 1+1/n.

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© Robert FERRÉOL 2013