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LIGNE DE COURBURE d'une surface
Line of curvature of a surface , Krümmungslinie einer Fläche


Notion étudiée par Monge en 1776 et Dupin en 1813.

 
Équation différentielle :  où  est le vecteur normal à la surface en M,
soit  , ou encore   (voir les notations ).

Les lignes de courbure d'une surface possèdent trois définitions équivalentes :

DEF 1 : ce sont les courbes tracées sur la surface qui sont tangentes en chaque point à l'une des directions principales (c'est-à-dire l'une des directions où la courbure est extrémale ou encore l'un des axes de la conique indicatrice de Dupin relative à ce point)

DEF 2 : ce sont les courbes tracées sur la surface à torsion géodésique nulle.

DEF 3 : ce sont les courbes tracées sur la surface telles que la normalie associée soit développable autrement dit, telles que les normales à la surface le long de la courbe possèdent une enveloppe (l’arête de rebroussement de la normalie est alors le lieu des centres de courbure des sections principales tangentes à la ligne de courbure).

Par tout point qui n’est ni un ombilic ni un méplat passent deux lignes de courbure orthogonales.
Dans le domaine de la surface formé de ses points hyperboliques, les lignes de courbure sont les bissectrices des lignes asymptotiques .

Le théorème de Joachimstal énonce qu'étant donné deux surfaces (S1 ) et (S2) se coupant suivant une courbe (C), deux parmi les trois propriétés suivantes entraîne la troisième.
    - l'angle des deux surfaces le long de (C) est constant
    - (C) est ligne de courbure de (S1)
    - (C) est ligne de courbure de (S2)

On en déduit le théorème de Dupin : dans une famille triple orthogonale de surfaces, c’est à dire une famille de surfaces telles qu’en chaque point de chaque surface passent exactement deux autres surfaces de la famille telles que ces trois surfaces sont deux à deux orthogonales en ce point, les surfaces se coupent suivant leurs lignes de courbure.

Par similitude, et même par transformation conforme (par exemple par inversion), mais pas par transformation affine, les lignes de courbures se transforment en lignes de courbure.

Par exemple, la famille des quadriques homofocales :    ( ) est une famille triple orthogonale.
Ce sont des ellipsoïdes pour  , des hyperboloïdes à une nappe pour  , et des hyperboloïdes à deux nappes pour  . Ceci détermine donc les lignes de courbures de ces surfaces.

Exemples :
 - dans un plan ou une sphère, toute ligne est ligne de courbure.
 - pour une surface de révolution , les deux familles de lignes de courbure sont formées des méridiennes et des parallèles.
 - pour une surface développable , les deux familles de lignes de courbure sont les (droites) génératrices et leurs trajectoires orthogonales.
 - plus généralement, pour une surface de Monge , les lignes de courbure sont les génératrices et les directrices.
 - voir sur la page correspondantes les lignes de courbure du paraboloïde hyperbolique.

Voir aussi à focale .
 
 
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© Robert FERRÉOL  2005