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OCTAÈDRE TRONQUÉ
Truncated octahedron, abgestumpftes Oktaeder

Autre nom : solide de Kelvin.
Vues Povray de cette page réalisées par Alain Esculier.

 
Famille polyèdre semi-régulier ou polyèdre archimédien
également : paralléloèdre
Historique solide connu d'Archimède (IIIe s. av. J.C.)
Dual Tétraki-hexaèdre
Faces 8 hexagones et 6 carrés ; c'est donc un décatétraèdre, parfois dénommé aussi tétrakaidécaèdre.
Sommets 24 sommets de degré 3, de code de Schläfli 4.62 ; angle solide : sr
Arêtes 36 arêtes de longueur a ; angle dièdre :  125° 16'  entre un carré et un hexagone,  entre deux hexagones.
Patron
Graphe  
Diamètres sphère inscrite dans les carrés : , dans les hexagones : ; intersphère (passant par les milieux des arêtes) : 3a ; sphère circonscrite : .
Mensurations volume :     aire : 
coefficient isopérimétrique : 
Coordonnées 
des sommets		 et les permutés, avec .
Construction Octaèdre faiblement tronqué.
Plans de symétrie 9
Axes de rotation

3 axes passant par les centres de 2 carrés opposés
(2 rotations d'ordre 4  par axe et une d'ordre 2)
4 axes passant par les centres de 2 carrés opposés (2 rotations d'ordre 3  par axe)

6 axes passant par les milieux de deux arêtes communes à des hexagones et opposées (1 rotations d'ordre 2  par axe)
Groupe des isométries  = celui de l'octaèdre
Polyède dérivé Triacontahexaède tétragonal

 
 
Comme avec des cubes, on peut paver (c'est-à-dire remplir sans trou ni chevauchement) l'espace avec des octaèdres tronqués.
Voir aussi paralléloèdre.

Le réseau de cordes de cette pyramide est un empilement compact d'octaèdres tronqués

 
Cette propriété d'empilement sans interstice provient du fait que l'octaèdre tronqué n'est autre que le "domaine fondamental" (à savoir le domaine formé des points pour lesquels le noeud le plus proche est le noeud considéré) d'un réseau cubique centré.

Ci-contre, les cuboctaèdres sont centrés aux points de coordonnées , avec i,j,k entiers de même parité.
 

 

 
Le réseau cubique centré est obtenu à partir de deux réseaux cubiques simples, chaque noeud de l'un étant au centre d'un cube formé par 8 noeuds de l'autre.

Il est moins dense (densité ) que le réseau cubique à faces centrées, dont le domaine fondamental est le dodécaèdre rhombique.

 
Je pense que ce polyèdre réalisé avec 24  tickets de métro que j'ai acheté à une personne qui les vendait sur un quai est un octaèdre tronqué.

 
Pavage d'espace par des octaèdres tronqués photographié par Carlos Sacré, en Roumanie près de Constanza.

 
 
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© Robert FERRÉOL 2007