Un polyèdre chanfreiné est un polyèdre où les arêtes et les sommets ont été biseautés.
 
 

Plus précisément, chaque sommet de degré d est remplacé par un polygone d'ordre d, et chaque arête par un quadrilatère, ainsi qu'il est indiqué dans la figure ci-contre. Les anciennes faces restent du même ordre.

Si le polyèdre de départ a F₀ faces, S₀ sommets de degrés d_i et A₀ arêtes, un polyèdre chanfreiné a alors :
S = somme(d_i)  sommets
F = F₀ + S₀ +  A₀ faces
A = somme(d_i)  + 2A₀ arêtes

Un polyèdre chanfreiné d'un dual est équivalent au polyèdre de départ.
 
 

Une méthode de chanfreinage est de choisir un "centre" sur chaque face (qui sera le centre de gravité quand la face est régulière), d'effectuer  une homothétie de même rapport k < 1 de centre ce centre et de relier les nouveaux sommets, en faisant apparaitre A₀ faces parallélogrammes, et S₀ faces d'ordre le degré du sommet correspondant .
Avec cette méthode, les "faces" sommitales ne sont pas forcément planes ; elles le sont sssi les centres des faces aboutissant à un sommet sont coplanaires, ce qui est assuré lorsque tous les sommets sont de degré 3.

Le cas limite k = 0 donne alors un dual du polyèdre de départ.

Exemples : les 5 polyèdres réguliers fournissent, par chanfreinage, 3 des 13 polyèdres archimédiens :
 
 

Polyèdre de départ	Polyèdre chanfreiné	Rapport d'homothétie k
tétraèdre régulier	cuboctaèdre	k = 1/4
cube et octaèdre régulier	rhombicuboctaèdre	en partant du cube, et  en partant de l'octaèdre.
dodécaèdre régulier et icosaèdre régulier	rhombicosidodécaèdre	en partant du dodécaèdre, et  en partant de l'icosaèdre.

Autres exemples :
 

Prisme pentagonal	orthobicoupole pentagonale allongée solide de Johnson J38
Tétraèdre tronqué et son dual	Contrairement aux apparences, le polyèdre obtenu n'est pas à faces régulières  (sinon, la somme des angles autour d'un sommet d'un hexagone serait égale à 360°)
dodécaèdre adouci, triaki-icosaèdre, hexaki-icosaèdre

Voir aussi les polyèdres adoucis.

polyèdre suivant

polyèdre précédent

courbes 2D

courbes 3D

surfaces

fractals

polyèdres

© Robert FERRÉOL  Alain ESCULIER 2005