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DODÉCAÈDRE RHOMBIQUE
Rhombic dodecahedron, Rhombendodekaeder

                    .
Anaglype à regarder avec des lunettes rouge (à gauche) et bleu (à droite).

Programme Maple de tracé.


 
Liens :
www.dma.ens.fr/culturemath/video/Dupas-polyedres/herbier/rhombique.htm
mathematische-basteleien.de/rhombendodekaeder.htm

 
Étymologie rhombique : du grec rhombos "losange".
Autres noms dodécaèdre rhomboïdal, rhombododécaèdre, ou granatoèdre (du latin granatus "grain, grenat", le grenat prenant des formes de dodécaèdre rhombique)
Famille polyèdre semi-régulier de deuxième espèce
également : paralléloèdre
Historique solide connu d'Archimède (IIIe s. av. J.C.) ???
Dual cuboctaèdre
Faces 12 losanges dont les grande et petite diagonale sont dans le rapport , de grand angle et de petit angle ,  de petite diagonale , et de grande diagonale .
Sommets 8 sommets de degré 3, de code de Schläfli 43 et 6 sommets de degré 4 de code de Schläfli 44.
Arêtes 24 arêtes de longueur a ; angle dièdre : 120°.
Patron
Graphe
ou
Diamètres sphère inscrite ; intersphère (tangente aux arêtes) ; sphère circonscrite aux sommets de degré 3 : 2a , aux sommets de degré 4 : .
Mensurations volume :    aire : 
coefficient isopérimétrique : .
Coordonnées 
des sommets
les huit sommets de degré 3 : 
les 6 sommets de degré 4 :  et permutés.
Constructions
cube augmenté sur chaque face d'une pyramide dont les faces font un angle de 45° avec la base ; comparer avec la construction du tétraki-hexaèdre.
Voir ici une superbe animation de cette construction.
octaèdre augmenté sur chaque face d'une pyramide dont les angles des faces avec la base sont tels que chaque face est coplanaire avec celle de la pyramide voisine; comparer avec la construction du triaki-octaèdre.
cube tronqué aux arêtes (la troncature intermédiaire est le dodécaèdre rhombique tronqué)
octaèdre tronqué aux arêtes

Voir aussi cette page.

Polyèdres dérivés Par troncature : dodécaèdre rhombique tronqué.
par adoucissement
Plans de symétrie 9
Axes de rotation
3 axes passant par 2 sommets de degré 4
(2 rotations d'ordre 4  par axe et une d'ordre 2)
4 axes passant par 2 sommets de degré 3 (2 rotations d'ordre 3  par axe)
6 axes passant par les centres de deux faces opposées (1 rotations d'ordre 2  par axe)
Groupe des isométries  = celui du cube
Polyèdre dérivé Dodécaèdre rhombique tronqué

 
 
Le dodécaèdre rhombique plein est l'enveloppe convexe des sommets du cube et de son dual polaire qui est un octaèdre ; les arêtes du cube sont alors les petites diagonales des faces du dodécaèdre, et celles de l'octaèdre les grandes.

 
Le dodécaèdre rhombique pose des problèmes de vision dans l'espace, car lorsqu'on le regarde suivant une diagonale, on a l'impression de voir un cube : le dodécaèdre plein est en fait formé de 4 rhomboèdres (que l'on prend pour des cubes).
Remarquons que chaque rhomboèdre a 3 faces libres et une face en commun avec chacun des 3 autres.

Voir ici une superbe animation de cette décomposition.


 
Construction d'un dodécaèdre rhombique à partir de cubes, par la méthode de l'abbé René-Just Haüy (voir aussi sa méthode de construction de l'octaèdre).

 
Le dodécaèdre rhombique plein est une projection affine de l'hypercube de dimension 4 plein.
Dans l'anaglyphe ci-contre,  à regarder avec des lunettes rouge (à gauche) et bleu (à droite)., on essaiera de distinguer les 6 parallélépipèdes projetés des 6 cellules cubiques de l'hypercube.

 
La frontière de l'intersection de trois cylindres pleins de mêmes rayons et d'axes perpendiculaires deux à deux possède la même structure que le dodécaèdre rhombique ; mais les "faces" sont des portions de cylindres, et les arêtes, des portions d'ellipses...

Image réalisée par Alain Esculier.


 
Comme avec des cubes, on peut paver (c'est-à-dire remplir sans trou ni chevauchement) l'espace avec des dodécaèdres rhombiques.
Voir aussi à également à paralléloèdre.

Ci-contre, les douze dodécaèdres rhombiques accolés aux douze faces d'un autre dodécaèdre rhombique, centrés aux sommets d'un cuboctaèdre.

Cette propriété de pavage provient du fait que le dodécaèdre rhombique n'est autre que le "domaine fondamental" (à savoir le domaine formé des points pour lesquels le noeud le plus proche est le noeud considéré) d'un réseau cubique à faces centrées.

Ici, les dodécaèdres sont centrés aux points de coordonnées , avec i,j,k entiers de somme paire.
 

 


 
Le réseau cubique à faces centrées est obtenu à partir de deux réseaux cubiques simples, chaque noeud de l'un étant au centre d'un cube formé par 8 noeuds de l'autre.

On définit la densité d'un réseau comme la limite du rapport du volume total des sphères identiques tangentes centrées aux noeuds du réseau situées dans un domaine donné, au volume du domaine, lorsque le domaine "tend" vers l'espace entier.
Il se trouve que le réseau cubique à faces centrées est plus dense (densité ) que le réseau cubique centré, dont le domaine fondamental est l'octaèdre tronqué.


 
Le réseau cubique à faces centrées est celui qu'on obtient naturellement lorsqu'on range des oranges ou des boulets de canon (que l'on parte d'une base carrée ou triangulaire).

 


 
Le domaine fondamental du réseau hexagonal compact, fournit un autre polyèdre qui pave l'espace, équivalent au dodécaèdre rhombique, mais dont les faces sont constituées de 6 trapèzes et 6 losanges, d'où son nom de dodécaèdre trapézo-rhombique (ou, en anglais, twist rhombic dodecahedron).
Ce polyèdre n'est autre que le dual du pseudo-cuboctaèdre.
Il existe une infinité de polyèdres à faces losanges équivalents au dodécaèdre rhombique semi-régulier, mais un seul autre à faces losanges isométriques, le dodécaèdre rhombique de Bilinski découvert en 1960, dont les faces sont celles du triacontaèdre rhombique (voir ici la relation entre ces deux polyèdres). Celui-ci pave également l'espace.
Photo : Gilles Josse.

 
Les baies de grenade, à cause de la compression, tendent à s'empiler en réseau cubique à face centrée, ce qui explique qu'elles prennent la forme approximative de dodécaèdres rhombiques.

 
Les alvéoles d'abeilles ont la forme de prismes hexagonaux terminés par trois losanges faisant entre eux des angles de 120° ; ces trois losanges sont donc les 3 faces aboutissant à un sommet de degré 3 d'un dodécaèdre rhombique. On montre que cet angle de 120° est celui qui minimise l'aire de l'alvéole, de sorte que les abeilles résolvent un problème d'extrémum !

 
Dans cette gravure tirée de "de divina proportione", intitulée "hexacedron elevatus vacuus" , Léonard a placé manifestement des pyramides à faces équilatérales, ce qui ne donne pas exactement le dodécaèdre rhombique, mais donne une bonne idée de sa construction.
Les armatures de cette pyramide de cordes forment un demi dodécaèdre rhombique.
Cristal de grenat grossulaire, en forme de dodécaèdre rhombique.

Voir aussi l'hypergranatoèdre, version 4D du dodécaèdre rhombique, et le triacontaèdre rhombique, qui est à la paire dodécaèdre-icosaèdre ce qu'est le dodécaèdre rhombique à la paire cube-octaèdre.



Animation réalisée par Alain Esculier


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© Robert FERRÉOL 2014