Anaglype à regarder avec des lunettes rouge (à gauche) et bleu (à droite).
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DODÉCAÈDRE RHOMBIQUE
Rhombic dodecahedron, Rhombendodekaeder
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Anaglype à regarder avec des lunettes rouge (à gauche) et bleu (à droite). |
| Lien : mathematische-basteleien.de/rhombendodekaeder.htm |
| Étymologie | rhombique : du grec rhombos "losange". | ||||||
| Autres noms | dodécaèdre rhomboïdal, rhombododécaèdre, ou granatoèdre (du latin granatus "grain, grenat", le grenat prenant des formes de dodécaèdre rhombique) | ||||||
| Famille | polyèdre
semi-régulier de deuxième espèce
également : paralléloèdre |
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| Historique | solide connu d'Archimède (IIIe s. av. J.C.) ??? | ||||||
| Dual | cuboctaèdre |
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| Faces | 12 losanges dont les grande et petite diagonale sont
dans le rapport  ,
de grand angle  et
de petit angle  ,
de petite diagonale  ,
et de grande diagonale  . |
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| Sommets | 8 sommets de degré 3, de code de Schläfli 43 et 6 sommets de degré 6 de code de Schläfli 44. | ||||||
| Arêtes | 24 arêtes de longueur a ; angle dièdre : 120°. | ||||||
| Patron |
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| Graphe | |||||||
| Diamètres | sphère inscrite : 
;
intersphère
(tangente
aux arêtes) : 
;
sphère circonscrite aux sommets de degré
3 : 2a , aux sommets de degré 4 :  . |
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| Mensurations | volume : 
aire : 
coefficient isopérimétrique :  . |
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| Coordonnées
des sommets |
les huit sommets de degré 3 : 
les 6 sommets de degré 4 : 
et permutés. |
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| Constructions |
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| Polyèdres dérivés | par adoucissement
:  |
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| Plans de symétrie | 9 | ||||||
| Axes de rotation |
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| Groupe des isométries | = celui du cube |
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Le dodécaèdre rhombique plein est l'enveloppe convexe des sommets du cube et de son dual polaire ; les arêtes du cube sont alors les petites diagonales des faces du dodécaèdre, et celles de l'octaèdre les grandes. |
| Le dodécaèdre rhombique pose des problèmes
de vision dans l'espace, car lorsqu'on le regarde suivant une diagonale,
on a l'impression de voir un cube : le dodécaèdre plein est
en fait formé de 4 rhomboèdres
(que l'on prend pour des cubes). Il reste au centre un tétraèdre
régulier.
Remarquons que chaque rhomboèdre a une face en commun avec chacun des 3 autres. |
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Construction d'un dodécaèdre rhombique à partir de cubes, par la méthode de l'abbé René-Just Haüy (voir aussi sa méthode de construction de l'octaèdre). |
| Le dodécaèdre rhombique plein est une projection
affine de l'hypercube de dimension
4 plein.
Dans l'anaglyphe ci-contre, à regarder avec des lunettes rouge (à gauche) et bleu (à droite)., on essaiera de distinguer les 6 parallélépipèdes projetés des 6 cellules cubiques de l'hypercube. |
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| La frontière de l'intersection de trois cylindres
pleins de mêmes rayons et d'axes perpendiculaires deux à deux
possède la même structure que le dodécaèdre
rhombique ; mais les "faces" sont des portions de cylindres, et les arêtes,
des portions d'ellipses...
Image réalisée par Alain Esculier. |
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| Comme avec des cubes, on peut paver (c'est-à-dire
remplir sans trou ni chevauchement) l'espace avec des dodécaèdres
rhombiques.
Voir aussi à également à paralléloèdre. Ci-contre, les douze dodécaèdres rhombiques accolés aux douze faces d'un autre dodécaèdre rhombique, centrés aux sommets d'un cuboctaèdre. |
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| Cette propriété de pavage provient du fait
que le dodécaèdre rhombique n'est autre que le "domaine fondamental"
(à savoir le domaine formé des points pour lesquels le noeud
le plus proche est le noeud considéré) d'un réseau
cubique
à faces centrées, .
Ici, les dodécaèdres sont centrés
aux points de coordonnées |
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| Le réseau cubique à faces centrées
est obtenu à partir de deux réseaux cubiques simples, chaque
noeud de l'un étant au centre d'un cube formé par 8 noeuds
de l'autre.
Il est plus dense (densité |
   |
| Le réseau cubique à faces centrées
est celui qu'on obtient naturellement lorsqu'on range des oranges ou des
boulets de canon (que l'on parte d'une base carrée ou triangulaire).
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| Les baies de grenade, à cause de la compression, tendent à s'empiler en réseau cubique à face centrée, ce qui explique qu'elles prennent la forme approximative de dodécaèdres rhombiques. |  |
| Les alvéoles d'abeilles ont la forme de prismes hexagonaux terminés par trois losanges faisant entre eux des angles de 120° ; ces trois losanges sont donc les 3 faces aboutissant à un sommet de degré 3 d'un dodécaèdre rhombique. On montre que cet angle de 120° est celui qui minimise l'aire de l'alvéole, de sorte que les abeilles résolvent un problème d'extrémum ! |  |
Les armatures de cette pyramide de cordes forment un
demi dodécaèdre rhombique. |
Cristal de grenat grossulaire, en forme de dodécaèdre
rhombique.
voir aussi ces cristaux de cuivre |
Voir aussi l'hypergranatoèdre, version 4D du dodécaèdre rhombique, et le triacontaèdre rhombique, qui est à la paire dodécaèdre-icosaèdre ce qu'est le dodécaèdre rhombique à la paire cube-octaèdre.
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© Robert FERRÉOL 2005
,
avec i,j,k entiers de somme paire.
)
que le réseau cubique centré, dont le domaine fondamental
est l'