Caténoïde

CATÉNOÏDE
Catenoid, Katenoïd

Surface étudiée par Euler en 1740.
Le nom vient de catena : chaîne, qui est aussi le nom latin de la chaînette.

Équation cylindrique :

.
Paramétrisation cartésienne :

(

).
Paramétrisation où les lignes de coordonnées sont les loxodromies faisant un angle a avec les parallèles, qui sont aussi les lignes asymptotiques pour a = 45° :

.
Première forme quadratique fondamentale :

où

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Elément d’aire :

.
Deuxième forme quadratique fondamentale :

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Courbure totale :

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Aire de la portion pour

.
Volume :

Le caténoïde est la surface de révolution engendrée par la rotation d'une chaînette autour de sa base.

La courbure moyenne en tout point étant nulle, c’est une surface minimale ; c'est d’ailleurs la seule surface de révolution minimale.
Si l'on plonge donc deux anneaux circulaires parallèles distants d'au plus 0,66 fois leur diamètre dans une solution savonneuse, le film de savon prend la forme d'une portion de caténoïde, dont l'aire est minimale parmi les aires des surfaces joignant les deux anneaux.
Rem : cette constante 0,66 est une valeur approchée de 1/ sh u , u > 0 étant défini par u = coth u.

Sur cette photo, la limite théorique d'éclatement de 0,66 semble avoir été nettement dépassée... Un caténoïde peut être transformé continûment et isométriquement en un hélicoïde droit, la surface restant constamment minimale :

transformation d'un caténoïde en hélicoïde

Équations de cette transformation :

Voir aussi l'alysséïde.

surface suivante surface précédente courbes 2D courbes 3D surfaces fractals polyèdres