Équation cylindrique : . Paramétrisations cartésiennes :  1) dont les lignes de coordonnées sont les hélices et les droites incluses dans la surface, qui sont aussi les lignes asymptotiques :   (). 2) dont les lignes de coordonnées sont les hélices, ne donnant que la portion incluse dans le cylindre  :  Équation cartésienne : . Première forme quadratique fondamentale : . Deuxième forme quadratique fondamentale :  Élément d'aire : . Courbure totale : , courbure moyenne nulle (surface minimale). Équation des lignes de courbure : . Équation des géodésiques :  Aire d'une spire sur une largeur a : .

Les hélicoïdes droits sont les hélicoïdes normaux fermés, autrement dits ceux dont la génératrice est une droite perpendiculaire (donc sécante) à l’axe. Ce sont donc aussi des conoïdes droits.
L'hélicoïde droit s'obtient comme réunion des normales principales à l'hélice circulaire : .
 

L’intersection avec un cylindre d'axe Oz est formé de deux hélices circulaires images l’une de l’autre dans un  retournement d’axe Oz, dextres si h est positif, senestres sinon (c’est la double hélice de la molécule d’ADN).

 

La deuxième paramétrisation montre que l’intersection de l'hélicoïde droit avec un cylindre plein d’axe Oz et de rayon a est une surface de translation (une hélice glissant sur elle-même) ; si Oz est vertical, ces hélices sont les lignes de pente de l'hélicoïde.

 

Mais il y a d'autre hélices dans un hélicoïde droit, de pas moitié de celui des hélices génératrices : les sections par des cylindres passant par l'axe !

 

L’hélicoïde droit est, avec le plan la seule surface minimale qui soit réglée (théorème de Catalan).
 
 

Un hélicoïde droit peut être transformé continûment et isométriquement en un caténoïde, la surface restant constamment minimale et de type hélicoïdal. Équations de cette transformation :  Les surfaces intermédiaires sont les hélicoïdes minimaux.

En 1816 Gergonne demandait comment partager un cube en deux parties par une surface d'aire minimale fixée à deux diagonales orthogonales situées sur deux faces opposées du cube. La réponse n'est pas, comme on pourrait le penser, une portion de paraboloïde hyperbolique (qui aurait une trace rectiligne sur les faces du cube) mais une portion d'hélicoïde droit (qui a une trace sinusoïdale sur les faces). Cette surface est désignée par "surface de Gergonne". maple : plot3d([u*cos(Pi/4+v)*sqrt(2),u*sin(Pi/4+v)*sqrt(2),(2*v-Pi/2)*2/Pi],u=-1/(sin(Pi/4+v)*sqrt(2))..1/(sin(Pi/4+v)*sqrt(2)), v=0..Pi/2,lightmodel=light2,grid=[20,20])

Toute courbe plane est la projection de l'intersection d'un hélicoïde droit avec une surface de révolution ; plus précisément, la courbe d'équation polaire dans xOy : est la projection sur xOy de l'intersection de l'hélicoïde  avec la surface de révolution . Ci-contre par exemple, la cardioïde est la projection de l'intersection de l'hélicoïde  avec la surface de révolution

Voir aussi à quadratrice de Dinostrate.
 

Chateau de Blois Epluchure de crayon, par Lévi Capareda Un escalier en hélice habituel est un demi-hélicoïde droit (à droite : château de Blois)

 

C'est Léonard de Vinci qui eut l'idée de l'escalier à double hélice, réalisé au château de Chambord : c'est alors un hélicoïde complet ; on le retrouve aussi dans la statue de la liberté.

 
 

Vis à filet carré

Vis sans fin

 

Les pâtes torsadées appelées "torsettes",  "torti" ou "fusilli" en italien sont de superbes hélicoïdes. L'exemple de droite (Barilla) est formé de 3 demi-hélicoïdes

Sculpture de Paul Bloch

 
 

surface suivante

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courbes 3D

surfaces

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