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BOUTEILLE DE KLEIN
Klein's bottle, Kleinsche Flasche
tore sinuso´dalforme classiquehuit en rotation
lien vers une figure manipulable à la souris


Surface étudiée par Klein en 1882.
L'appellation "bouteille" proviendrait d'une erreur d'un traducteur qui aurait confondu en allemand "kleinsche Fläche" (surface de Klein) et "kleinsche Flasche" (bouteille de Klein), et désigné en anglais cette surface par "Klein bottle".
Félix Klein (1849-1925) : mathématicien allemand.
Autres noms : surface de Klein, tore de Klein, tore non orientable.

 
Paramétrisation sans point singulier dans 

Paramétrisation donnant la forme classique dans (donc avec auto-intersection) :
Première partie : 
Deuxième partie : , où , avec a = 3, b = 4, c = 2.
Paramétrisation en tore sinusoïdal (projection 3D de la surface 4D ci-dessus) : .
Rotation d'un huit avec retournement :.
Équation cartésienne polynomiale de Ian Stewart : .
Voir ici une méthode générale de création de bouteille de Klein.

 
On désigne par bouteille de Klein, notée , tout espace topologique homéomorphe à celui obtenu en identifiant dans un carré plein les côtés opposés avec inversion du sens pour l'un des couples. 
Si l'on identifie d'abord les deux côtés de même sens (concrètement, si on les coud bord à bord), on obtient un tronc de cylindre ; la bouteille de Klein est donc un tronc de cylindre dont les deux bords sont identifiés avec inversion du sens.
Si l'on identifie d'abord les deux côtés de sens contraire, on obtient un ruban de Möbius. La bouteille de Klein est donc un ruban de Möbius dont les deux demi-bords sont identifiés dans le même sens. (Si on les identifie en sens contraire, on obtient un plan projectif).
En utilisant la représentation triangulaire du ruban de Möbius, et en identifiant 2 demi-bases inféreures du triangle dans le même sens, on obtient alors la représentation ci-contre de la bouteille de Klein...
...représentation montrant que la bouteille de Klein est aussi la surface obtenue en cousant deux rubans de Möbius bord à bord.
Vue montrant qu'une demi-bouteille de Klein est bien un ruban de Möbius.
 
 
 

 

De plus, le ruban de Möbius étant un plan projectif troué, la bouteille de Klein est donc aussi la somme connexe de deux plans projectifs réels.

On en obtient donc une autre représentation en accolant deux bonnets croisés ouverts :
 
 
 
 

 


Ceci est aussi une bouteille de Klein !

Le ruban de Möbius est une surface unilatère (à une seule face), donc non orientable, de genre 2, de caractéristique d'Euler-Poincaré nulle, et de nombre chromatique 6 comme le tore:(et non 7 comme le voudrait la formule de Heawood ) :


Dans cette carte à 6 pays tracée sur la bouteille de Klein, chaque pays touche les 5 autres ; 6 est le maximum possible, et toute carte pourra être coloriée avec 6
                                                       couleurs au plus.

Elle ne peut pas être plongée dans R3, mais seulement immergée avec auto-intersection.

Si la représentation classique ressemble bien à une bouteille (dans laquelle on évitera de mettre du liquide !),

n'importe quelle surface engendrée par le mouvement d'un cercle (de rayon variable ou non) ou même d'une courbe fermée qui revient sur elle-même après rotation d'un demi-tour est une représentation de la bouteille de Klein.
 
 
On peut par exemple coller un demi tore avec un demi dôme de Bohème, ou utliser un tore sinusoïdal.
tore sinuso´dal
On peut aussi faire tourner un huit avec un demi-tour :

Demi-bouteille de Klein engendrée par un huit (surface complète en haut à droite)

 
La première représentation permet de bien voir comment la bouteille de Klein est obtenue en identifiant deux demi-bords d'un ruban de Möbius :

La deuxième représentation permet, elle, de bien voir comment la bouteille de Klein est obtenue en cousant bord à bord deux rubans de Möbius.
   +
    =

Dans , on peut par contre effectuer le mouvement d'un cercle avec retournement sans que la surface obtenue ne présente d'auto-intersection (voir la paramétrisation dans l'encadré ci-dessus).

Voici enfin un modèle polyédrique de la bouteille de Klein :

Si l'on peint la bouteille de Klein, la pellicule de peinture (qui est d'un seul tenant puisque cette surface est unilatère) obtenue est une immersion du tore (autrement dit, le revêtement à deux feuillets est le tore); c'est la raison pour laquelle la bouteille de Klein a été utilisée comme étape centrale du retournement du tore : voir par exemple, ce texte de Pour la Science.

La bouteille de Klein percée (caractérisée par le fait d'être une surface unilatère à un bord de genre 2) peut être représentée par le slip de Möbius (Möbius shorts en anglais) : on l'obtient en reliant un ruban fermé non torsadé par une bande comme ci-dessous :
 

Ce slip impossible à enfiler est une bouteille de Klein percée !

 
De même que le ruban de Möbius peut être généralisé en un ruban à n demi-tours (et l'on obtient topologiquement un ruban de Möbius seulement quand n est impair), la bouteille de Klein peut être généralisée en une bouteille à n retournements, qui n'est topologiquement une bouteille de Klein que lorsque n est impair.

Ci-contre, les bouteilles multiples ont été crées à partir d'un tube de section variable d'âme une épicycloïde.


La bouteille de Klein permet aux infographistes de montrer leur talent :

LIENS :
www.math.ohio-state.edu/~fiedorow/math655/Klein2.html
www.math.uiuc.edu/~jms/Images/klein.html
www.geom.uiuc.edu/~banchoff/Klein4D/Klein4D.html

Jeux sur une bouteille de Klein : geometrygames.org/TorusGames/index.html
Pour acheter des bouteilles de Klein en verre et même un bonnet de Klein ! : www.kleinbottle.com
 
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© Robert FERRÉOL, Jacques MANDONNET 2013