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BONNET CROISÉ
Cross-cap, Kreuzhaube

Lien vers une figure manipulable à la souris


Surface étudiée par Steiner ???
Autre nom : mitre.

 
Paramétrisation cartésienne n°1 :  avec .

Paramétrisation cartésienne n°2 :  de sorte que 
obtenue en faisant  dans la paramétrisation n°1.

Paramétrisation cartésienne n°3 :, obtenue en faisant .

Paramétrisation cartésienne n°4 :, obtenue en faisant  .
Équation cartésienne :.
Surface quartique.

Le bonnet croisé est l'image de la sphère quotientée par la relation d'antipodie (autrement dit, le plan projectif réel), par l'application : .
 
Le bonnet croisé est l'une des plus simples immersions du plan projectif réel dans 
Il ne possède qu'un segment d'auto-intersection terminé par deux points cuspidaux (ici O et (0, 0, a)) (comparer avec la surface romaine et la surface de Boy, qui sont deux autres immersions du plan projectif).
Vue du segment d'auto-intersection 
La figure ci-contre illustre le fait que le bonnet croisé est un modèle du plan projectif :

On part d'une sphère trouée (homéomorphe au disque), et on plaque bord à bord a avec a, et b avec b, pour former le segment d'auto-intersection

Autre construction, à partir d'un disque au bord tordu en un huit, ayant déjà une auto-intersection.
Certains auteurs désignent par bonnet croisé un bonnet croisé troué :Le ruban de Möbius en bonnet croisé troué. C'est alors vraiment un bonnet au sens physique, mais d'un point de vue topologique, c'est un ruban de Möbius.
 

Le bonnet croisé possède aussi d'intéressantes propriétés géométriques. Il est en particulier de 3 façons différentes réunion d'une famille d'ellipses :
Première famille (cf. paramétrisation n°2)  : les sections par les plans contenant Oz d'angle polaire q  sont les ellipses, de sommets secondaires (0, 0, a) et  et de grand axe constant égal à 2a, d'équation :
de sorte que le bonnet croisé peut être vu comme la surface engendrée par une ellipse de grand axe 2a de longueur constante tournant autour de son petit axe avec un sommet fixe sur l'axe et l'autre sommet oscillant sur cet axe.

Si l'on remplace les ellipses précédentes par des cercles, on obtient une surface cerclée de paramétrisation cylindrique :  .

Cette dernière surface, homéomorphe à la précédente, est image par inversion du conoïde de Plücker d'ordre 1, les droites du conoïde devenant les cercles de ce bonnet croisé.

Deuxième famille (cf. paramétrisation n°3) : les sections par les plans contenant Oy   sont les ellipses : ; leur grand axe est constant égal à a, et le petit axe oscille entre 0 et a (le cas nul correspondant au segment d'auto-intersection). Ceci montre que le bonnet croisé est un cas particulier de tore sinusoïdal.
En bleu le lieu des sommets.
Troisième famille (cf. paramétrisation n°4) : les sections par les plans  sont les ellipses : , de sommet pricipal (0,0,a).
Les sections par les plans horizontaux z = h ont pour équation polaire :
ce sont :
        - des courbes en huit pour 0 < h < a
        - la réunion de deux ellipses tangentes  pour h = 0
         - des ovales pour -a < h <0.

 


 
Voici une version polyédrique du bonnet croisé.

Attention, ce n'est pas un vrai polyèdre : l'arête double centrale est commune à 4 faces.


 

Il ne faut pas confondre le bonnet croisé avec le pseudo bonnet croisé :

d'équation cartésienne : et de paramétrisation , dont les sections horizontales sont des lemniscates de Gerono et qui, nonobstant sa ligne double et ses deux points cuspidaux, est une surface unilatère.


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© Robert FERRÉOL  2013