Équation polaire : r = R. Équation cartésienne :  . Conique. Paramétrisation cartésienne :   (). Paramétrisation cartésienne rationnelle :   (). Abscisse curviligne : . Angle tangentiel polaire : . Rayon de courbure, équation intrinsèque 1 : . Équation intrinsèque 2 :   (ici  ) Équation cartésienne générale :  (non vide ssi a2 + b2³ 4c) Équation cartésienne du cercle de centre (a, b) et de rayon R :  . Paramétrisation cartésienne : . Équation polaire : , se réduisant à  si le cercle passe par O. Longueur : 2pR ; aire : .

Un cercle est un lieu formé des points du plan équidistants d'un point fixe.
Il peut être défini comme "conique circulaire" ou "conique propre d’excentricité nulle", ou "courbe à courbure constante et torsion nulle".

Les courbes à normale constante (N = cte, cf. notations) sont les cercles centré sur Ox (plus les droites parallèles à Ox).
 

Le lieu des points M tel que l'angle de droites (MA, MB) est constant est un cercle passant par Aet B (isoptique du segment [AB]). Le lieu des points M vérifiant  est (sauf pour k = 1) le cercle (dit d'Apollonius) de diamètre [I J] où I et J sont les deux points de (AB) vérifiant  ; les droites (MI) et (MJ) sont les bissectrices de l'angle AMB :

Ces cercles forment un faisceau de cercles à point de bases A et B ; le faisceau conjugué est l'ensemble des cercles passant par A et B  et chaque faisceau est l'ensemble des cercles orthogonaux à l'un des cercles de l'autre faisceau. Cette figure s'interprète comme formée de lignes de champ magnétiques ou électrostatique ; voir ici. Voir aussi les figures d'interférences d'ondes circulaires à la fiche coniques.

 
 

Un autre problème célèbre concernant les cercles, posé dèjà par Apollomius, est celui de déterminer les cercles tangents à 3 cercles donnés ; il y a en général 8 solutions.

Fractal de cercles tangents, par Alain Esculier

 

 

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courbe précédente

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courbes 3D

surfaces

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© Robert FERRÉOL  2013