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HYPOTROCHOÏDE
Hypotrochoid, Hypotrochoide

hypocycloïde raccourcie avec q = 7/3hypocycloïde allongée avec q = 7/3


Du grec hupo "au-dessous" et trokhos  "roue".

 
Paramétrisation complexe : , soit a  est le rayon du cercle de base, b = a / q  celui du cercle roulant et d = k b  la distance du point au centre du cercle mobile (q > 1).

Paramétrisation cartésienne : .
Paramétrisation polaire : .

Les hypotrochoïdes sont les courbes décrites par un point lié à un cercle (C) roulant sans glisser sur et intérieurement à un cercle de base (C0) ; ce sont donc les courbes que l'on obtient avec un spirographe avec disque interne.

Autre façon de dire la même chose : les hypotrochoïdes sont les roulettes d'un mouvement plan sur plan dont la base est un cercle et la roulante un cercle intérieur au premier.

Pour d = b, soit k = 1, on obtient les hypocycloïdes.
 
 
Si l’on remplace a par , b par  et d par a - b, l’hypotrochoïde obtenue est identique à celle de départ (propriété de double génération de l’hypotrochoïde).

On en déduit que si l’on conserve a, mais change q en  et k en , l’hypotrochoïde obtenue est homothétique de celle de départ dans le rapport k. On obtient donc toutes les hypotrochoïdes en ne considérant que le cas .
 
 
Pour q = 2, on obtient les ellipses.

Le mouvement plan sur plan correspondant est aussi obtenu par glissement.
 

Pour q > 2, la courbe s'appelle aussi hypocycloïde raccourcie si k < 1, hypocycloïde allongée si k > 1.

Attention, d’après ce qui précède, dans le cas 1 < q < 2, les hypocycloïdes raccourcies sont obtenues paradoxalement pour k > 1 et les hypocycloïdes allongées, pour k < 1 !
 
Pour  k = q - 1 (soit d = a - b)), on obtient une rosace  d'indice  n > 1 , d'équation polaire  :

 
On peut aussi définir les hypotrochoïdes comme les trajectoires d’un mouvement qui est composé de deux mouvements circulaires de sens contraires, de paramétrisation complexe :  () ; ce sont des hypocycloïdes si , des ellipses si , des hypocycloïdes allongées si  et  ou  et , des hypocycloïdes raccourcies si  et  ou  et (on peut alors prendre , d = r2, donc ).

Le premier bras a une vitesse angulaire (par rapport au plan fixe) quadruple de celle du deuxième : on obtient une hypotrochoïde de paramètre q = 4 + 1 = 5.
L'écriture donne l'interprétation suivante des hypotrochoïdes : si deux corps sont en rotation uniforme et de sens contraire dans un plan fixe, la trajectoire apparente de l'un dans un plan lié au deuxième et en translation par rapport au plan fixe est une hypotrochoïde.

Forme des courbes dans différents cas :
 
Valeur de q
Valeur de 
 
3
2

(voir la surface romaine)
4
3
5
4
5/2
3/2
 7/2
5/2
7/3
4/3

 
L'hypocycloïde de paramètre q = n/m constitue une approximation "arrondie" du polygone régulier de type (n, m) ; pour que les portions entre deux sommets soient le plus rectiligne possible on peut prendre le cas limite où cette portion de possède pas de points d'inflexion, qui correspond au cas k = 1 / (q - 1) ; ci-contre quelques vues correspondant à ce cas.
Pour q = 4, ce phénomène est utilisé dans le mécanisme des montres carrées.

Des hypotrochoïdes en triangle, carré, pentagone et pentagone étoilé (q =3, 4, 5, 5/2)

Les hypotrochoïdes et les épitrochoïdes constituent les trochoïdes à centre.

Les hypotrochoïdes sont aussi des projections planes des courbes de Caparéda, ou courbes des satellites.
 

Voir la généralisation aux polytrochoïdes à la page sur les trochoïdes à centre.
 
 
Courroie d'engrenage mise en forme d'hypotrochoïde par Lévi Capareda pendant un cours de sciences industrielles...
q = 4, k = 3
q = 4, k = 8

 
 

gravure de J. Mandonnet


Un spirographe marin !

 
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© Robert FERRÉOL, Jacques MANDONNET 2011