Paramétrisation cartésienne :  (où d est la distance de M au centre du cercle).

On désigne par trochoïde la courbe décrite par un point lié à un cercle de rayon R roulant sans glisser sur une droite (D) ; autrement dit, c'est une roulette d'un mouvement plan sur plan dont la base est une droite et la roulante un cercle.

Pour d < R, la courbe s'appelle aussi cycloïde raccourcie et ressemble à une sinusoïde, ce qu'elle est si l'on néglige le terme  dans x.

Pour d = R, on obtient la cycloïde.

Pour d > R, la courbe s'appelle aussi cycloïde allongée et peut prendre diverses formes, avec de plus en plus de points doubles à mesure que d augmente.

Le fait que la cycloïde allongée ait une boucle est à l'origine du paradoxe suivant :
Dans un train, montrer qu'il y a toujours une portion de matière qui se déplace en sens inverse du train. Réponse : le petit rebord des roues.

Le bas de la roue du train avance en sens inverse de la marche....

On peut aussi définir les trochoïdes comme les trajectoires d’un mouvement composé d’un mouvement rectiligne uniforme et d’un mouvement circulaire de paramétrisation complexe :    ( ) ; ce sont des cycloïdes si  , des cycloïdes allongées si , des cycloïdes raccourcies si   (on peut prendre  et  d = r).
 Autrement dit, si vous avancez régulièrement le long d’un tableau tenant une craie à la main d’un mouvement circulaire régulier, vous tracez une trochoïde.
 

Cas d » 4,6

Cas d » 7,8

Les projections d'une hélice circulaire sur un plan fixé donnent toutes les formes de trochoïdes ; autrement dit, les trochoïdes sont les vues en perspective cavalière et les ombres d’un ressort (théorème de Montucla-Guillery) :

Voir aussi épi- et hypotrochoïde.
 
 

courbe suivante

courbe précédente

courbes 2D

courbes 3D

surfaces

fractals

polyèdres

© Robert FERRÉOL, Jacques MANDONNET 2001