Paramétrisation cartésienne : . Équation cartésienne : . Quartique rationnelle.
Equation cartésienne de l'image par une rotation de  : avec  et

La courbe de paramétrisation donnée ci-dessus possède deux points de rebroussement ssi , soit q = -1, et prend alors une forme de poisson à nageoire arrière pointue.

Dans le cas k = 2, soit q = 1, on obtient la torpille.
Remarque : dans ce dernier cas, si l'on échange dans la paramétrisation les fonctions sin et cos, on obtient le bifolium régulier.
 

Les poissons peuvent s'obtenir par la construction suivante (cf courbe de superposition navale) : étant donné un segment fixe [AB] de longueur 2L situé à une distance L du centre d'un cercle de rayon R, et une corde  [PQ] d'angle au centre p/2 du cercle, les vecteurs AB et PQ ayant même sens quand ils sont le plus éloignés,  le poisson est le lieu des points d'intersection des droites (AP) et (BQ). La relation entre a,b,L,R est  ; on obtient le poisson à nageoire pointue pour L=R.

Si on échange P et Q on obtient un simple arc de cercle :

Variante pour des poissons siamois : .

© Robert FERRÉOL, Jacques MANDONNET 2009