Poisson : nom maison.

 

Forme 1 Paramétrisation cartésienne : . Équation cartésienne : . Quartique rationnelle.
Forme 2 (image par une rotation d'angle  amenant le point double en O ) Équation cartésienne : avec  et

Le poisson est la courbe définie par l'équation ci-dessus. Il possède 3 points singuliers formant un triangle rectangle isocèle :
A = (0, 0), B = (qa, 0), C = (0, qb) (repère de la forme 2) permettant l'interprétation géométrique suivante : le poisson est la solution de la recheche du lieu des points M tels que le rapport de l'aire algébrique du triangle (ABC) à celle du triangle (A'B'C') est égale à q/(1-q), où A' B', C' sont les centres des cercles cisconscrits à (MBC), (MCA), (MAB) [François Duc, 2011].

Les points B et C sont des points de rebroussement ssi , soit q = -1, et la courbe prend alors une forme de poisson à nageoire arrière pointue.

Dans le cas k = 2, soit q = 0, on obtient la torpille.
Remarque : dans ce dernier cas, si l'on échange dans la paramétrisation les fonctions sin et cos, on obtient le bifolium régulier.
 

Pour 0 < k < 2, soit 0 < q < 1, les trois points singulier sont des points doubles.

 

Les poissons peuvent aussi s'obtenir par la construction suivante (cf courbe de superposition navale) : étant donné un segment fixe [AB] de longueur 2L situé à une distance L du centre d'un cercle de rayon R, et une corde  [PQ] d'angle au centre p/2 du cercle, les vecteurs AB et PQ ayant même sens quand ils sont le plus éloignés,  le poisson est le lieu des points d'intersection des droites (AP) et (BQ). La relation entre a,b,L,R est  ; on obtient le poisson à nageoire pointue pour L=R.

Si on échange P et Q on obtient un simple arc de cercle :

Variante pour des poissons siamois :.

© Robert FERRÉOL  2011