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COURBE STROPHOÏDALE
Strophoidal curve, strophoidale Kurve


Notion étudiée par Torricelli en 1645, Montucci en 1846, Turrière en 1913.
Du grec strophos "cordon, ceinture, torsade". 

 
Pour une courbe de départ  d'équation polaire dans le repère (O et le point A de coordonnées (a, b) dans ce repère :
Équation polaire dans ce repère : .

 
La (courbe) strophoïdale d'une courbe  relativement à deux points O et A est le lieu des points M d'une droite variable (D) passant par O tels que M0M = M0AM0 est un point d'intersection (autre que O) de la droite (D) avec la courbe .
Autrement dit, c'est le lieu des intersections d'un cercle centré en M0  sur la courbe  et passant par A, avec la droite (OM0). 

La strophoïdale est donc formée de deux branches  et  dont  est la médiane de pôle O.


 

Lorsque la courbe  est une droite, A un point de cette droite et O un point extérieur à cette droite, les strophoïdales correspondantes sont les strophoïdes (droite lorsque (OA) est perpendiculaire à la droite ).

Lorsque la courbe  est un cercle, A son centre, la strophoïdale est la conchoïde de  de pôle O et de module le rayon du cercle ; en particulier, lorsque O est sur le cercle, on obtient le limaçon trisecteur.
 
 
Construction de la strophoïdale d'un cercle, dans le cas où A est sur le cercle et O aligné avec A et le centre du cercle.
Lorsque O est au centre du cercle, la strophoïdale est la néphroïde de Freeth. Lorsque O va à l'infini, la strophoïdale tend vers une torpille (voir ci-dessous).

Lorsque la courbe  est un cercle, A sur le cercle et O son centre, la strophoïdale est la néphroïde de Freeth.

GÉNÉRALISATIONS

1)  le point O est placé à l'infini.

La (courbe) strophoïdale d'une courbe  relativement à un point A et une direction de droite D est le lieu des intersections d'un cercle centré en M0  sur la courbe  et passant par A, avec la parallèle à D passant par M0 .
La transformation associée est alors parfois appelée "transformation de Brocard", ce dernier l'ayant étudiée dans le cas particulier du cercle.
 
Pour une direction de droite Ax et pour une courbe de départ  d'équation polaire dans le repère (A) : ,  la strophoïdale est la réunion des deux courbes d'équation polaire  et .
Ci-contre, construction de l'une des deux branches.

Exemples :
 
Lorsque la courbe  est une droite, et A un point en dehors de cette droite, on obtient les hyperboles (voir ci-contre le cas où la droite est perpendiculaire à (Ax)).
Lorsque la courbe  est un cercle, et A un point de ce cercle (équation ), la strophoïdale est le trifolium. Voir ci-contre le cas où le cercle est centré sur Ax, ce qui donne la torpille. Lorsque le cercle est centré sur Ay, on obtient le bifolium régulier.
Lorsque la courbe de départ est une parabole de foyer A et de paramètre p, la direction de droite l'axe de la parabole, l'une des branches de la strophoïdale n'est autre que la directrice, et l'autre, une parabole de sommet A et de paramètre p/2.
Lorsque la courbe de départ est une ellipse de foyer A et la direction de droite un axe de l'ellipse, la strophoïdale est formée de deux autres ellipses, de sommets A.

Phénomène similaire pour les hyperboles.

Lorsque la courbe de départ est une spirale hyperbolique , la strophoïdale "de droite" est une syncochléoïde, et celle "de gauche" (en vert), une cochléoïde.

1)  le point A est remplacé par une courbe (idée de Pierre Daniel).

La (courbe) strophoïdale d'une courbe  relativement à une courbe  et un point O est le lieu des intersections d'un cercle centré en M0 sur la courbe  et tangent à la courbe , avec la droite (OM0).

Nous traiterons un cas particulier simple : celui où la courbe  est une droite passant par O.
 
Prenant l'axe Oy comme droite  et pour une courbe de départ  d'équation polaire dans le repère (O) : ,  la strophoïdale a pour équation polaire .

Ci-contre, exemple de la parabole  ; la strophoïdale a pour équation : ; c'est une conchoïde focale de la parabole .


 
 
 
 
 
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© Robert FERRÉOL 2015