Hyperbole équilatère

HYPERBOLE ÉQUILATÈRE
Equilateral hyperbola, gleichseitige Hyperbel

Équation cartésienne réduite :

. Dans le repère tourné d'un huitième de tour :

.
a = demi-axe focal ;
foyers : F(

, 0) et F'(-

, 0) .
directrices : droites d'équation x =

et x = -

Paramétrisation cartésienne :

(avec

; forme choisie dans la suite).
ou

(avec

).
Équation polaire :

(c'est donc un cas particulier de spirale sinusoïdale).
Equation polaire générale d'une hyperbole équilatère passant par O :

.
Abscisse curviligne :

.
Rayon de courbure :

.
Équation bipolaire :

.
Équation polaire (pôle F, axe Fx) :

L' hyperbole équilatère est l'hyperbole à axes (ou asymptotes) perpendiculaires, ou d'excentricité . Elle est aux hyperboles générales ce qu'est le cercle aux ellipses.

En voici diverses définitions géométriques :

1) Définition conique :
L'hyperbole équilatère est la section d'un cône de révolution par un plan parallèle à l'axe du cône.

2) Définition bifocale :
L'hyperbole équilatère est le lieu d'un point dont la différence des distances à deux points fixes F et F' est égale à fois la distance entre ces deux points (voir l’équation bipolaire).

3) Définition par foyer et directrice :
L'hyperbole équilatère est le lieu d’un point M tels que où H est le projeté de M sur la directrice (D).

4) Définition cissoïdale :
Étant donné deux droites perpendiculaires et un point A en dehors de ces droites, le lieu des points M tels que où P et Q sont les deux points d'intersection avec les asymptotes d'une droite variable passant par A, est l'hyperbole passant par A et d'asymptotes les deux droites de départ (on en déduit facilement que l’hyperbole est la cissoïdale de deux droites perpendiculaires).

5) Définition angulaire (cas particulier de stelloïde) :

Étant donnés deux points distincts A et B, le lieu des points M tels que les bissectrices des droites (MA) et (MB) aient des directions constantes est l'hyperbole équilatère passant par A et B dont les asymptotes passent par le milieu de [AB] et sont parallèles à ces directions constantes.
Interprétation mécanique : une corde est attachée à une extrémité à un point fixe A, passe par une poulie B et est maintenue à la main à l'autre extrémité. Un seau est suspendu à la corde par une poulie entre A et B.
Le seau décrit une portion d'hyperbole équilatère.
la courbe du seau d'eau : comparer avec la courbe du danseur de corde.

6) Définition strophoïdale :

L'hyperbole équilatère est la courbe strophoïdale d'une droite (D) relativement à un point O en dehors de (D) et un point A situé à l'infini sur une perpendiculaire à (D).

Figure montrant les 4 hyperboles équilatères et , accompagnées du cercle .

Voir aussi la chaînette conique, la trompette de Gabriel et les hyperboloïdes.

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