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CLÉLIE
Clelia


Courbe étudiée par Pappus dans un cas particulier, et par Guido Grandi en 1728 ; ce dernier lui a donné le nom de clélie en hommage à la comtesse Clelia Borromeo, et non à l'héroïne légendaire de Rome, ni à celle d'un roman de Mme de Scudéry ! 
Autre nom : spirale (d'Archimède) sphérique.

 
Équation sphérique :  ( = latitude,  = longitude).
 Paramétrisation cartésienne : 
 Équation cylindrique : 
 Courbe sphérique, algébrique ssi n est rationnel (degré = 2(numérateur + dénominateur de n)).
 Abscisse curviligne : 
 Longueur du motif de base :  (intégrale elliptique).

 
Les clélies sont les lieux dun point M dun méridien dune sphère tournant à vitesse constante w autour de laxe polaire, le point M se déplaçant à la vitesse constante nw sur ce méridien.
On obtient donc physiquement une clélie lorsque l'on pèle une orange où lorsqu'on rembobine régulièrement une pelote de ficelle sphérique.
Les clélies sont aussi obtenues par l'intersection d'un conoïde de Plücker généralisé : avec la sphère de centre O et de rayon R
Ci-contre, le cas n = 3 : l'intersection est formée de 2 clélies symétriques.

 
 
La courbe est formée d'un motif de base (représenté ci-contre), symétrique par rapport à Ox, obtenu pour ,  partant du pôle sud pour arriver au pôle nord après n/2 tours ; on obtient la courbe entière en effectuant toutes les rotations d'angle  pour k entier autour de Oz.

Lorsque n est rationnel de numérateur p, et de dénominateur q, la courbe est symétrique par rapport à O ssi p ou q est pair.

Dans ce cas, la courbe est formée de 2p motifs issus du motif de base par rotations d'axe Oz d'angles  et  + p.

Lorque p et q sont impairs, la courbe est formée de p motifs issus du motif de base par rotations d'axe Oz d'angles .

Exemples :

n = 1 : courbe de Viviani.

n  = 2

n = 3 

n = 4

n = 5

n = 1/2 

 n = 3/2

n = 5/2

n = 7/2

n = 9/2

n  = 1/3 

n = 2/3

n = 4/3

n = 5/3

n = 7/3

n = 1/4

n = 3/4

n = 5/4

n = 7/4

n = 9/4

n = 1/5

n = 2/5

n = 3/5

n = 4/5

n = 6/5

Si vous avez le logiciel Maple et souhaitez manipuler ces figures à la souris, téléchargez ce fichier.

La projection (orthogonale) sur xOy est la rosace.
La projection conique de centre O sur le plan z = R est le noeud.
La projection stéréographique de pôle sud est le noeud.
 
La clélie est la projection cylindrique d'axe Oz sur la sphère de centre O et de rayon R de la couronne sinusoïdale tracée sur le cylindre d'axe Oz et de rayon R.
Figure réalisée par Alain Esculier
Elle est aussi la projection centrale de centre O de la couronne tangentoïdale tracée sur le même cylindre.

Les clélies sont des cas limites des solénoïdes toriques.

Ne pas confondre les clélies avec les hélices sphériques, ni avec les loxodromies.
 
 
La clélie pour n = 2 est un cas limite de courbe de la balle de tennis ; c'est aussi comme vu ci-dessus, l'intersection du conoïde de Plücker avec une sphère.

 
La paramétrisation de la sphère :  a pour lignes de coordonnées les clélies  de paramètre .

 
Les mailles de ce filet, formant des carrés lorsqu'il est applati, forment des courbes ressemblant fort à des clélies lorsqu'il enserre une boule sphérique. 
Cependant, si l'on considère que le filet est formé de mailles inextensibles, et que seuls les angles peuvent varier, la solution mathématique du problème n'est pas un réseau de clélies ; voir ici un tel habillage de la sphère.

Comparer avec les rosaces coniques, et les vasques 3D, qui se projettent également en des rosaces planes.
 
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© Robert FERRÉOL, Jacques MANDONNET 2013