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SOLÉNOÏDE, NOEUD ET ENTRELACS TORIQUE
Torus solenoid, knot and link, Torussolenoid, Torusknoten


une couleur = un tour autour de l'axe
Équation cylindrique :  (n > 0)
Paramétrisation cartésienne : .
Abscisse curviligne : .

Les solénoïdes toriques sont les solénoïdes dont la courbe centrale est un cercle ; ils s'enroulent donc régulièrement autour d'un tore. On peut aussi les voir comme trajectoire d'un point ayant un mouvement circulaire uniforme dans un plan tournant uniformément autour d'un axe.
 
Les solénoïdes toriques sont aussi obtenues par l'intersection du conoïde de Plücker généralisé avec le tore de centre O et de rayons majeurs et mineurs  R et r. Ci-contre, les cas n = 2 et 3 : l'intersection est formée de plusieurs solénoïdes pivotés.

Lorsque le tore est réduit à une sphère (R = 0), on retrouve les clélies.
Les projections sur xOy sont les conchoïdes de rosaces.
 
 

tore croisé

Vue de dessus : conchoïde de rosace.

tore ouvert

Vue de dessus : conchoïde de rosace.

Lorsque n est un rationnel p/q, et R > r, la courbe est fermée et simple, et le noeud associé au solénoïde torique correspondant est le noeud torique de type (p, q), possédant p enroulements autour du tore pour q tours autour de l'axe, qui est toujours un noeud premier. Les noeuds de type (p, q) et (q, p), sont équivalents.

Tout noeud ayant une représentation sans croisement sur le tore est un noeud torique de ce type.
Chaque section droite du tube comporte q brins et la vue de dessus comporte p (q - 1) croisements ; il a été démontré que pour p > q,  ce nombre de croisements est le nombre de croisements minimal du noeud correspondant, (nombre qui vaut donc q (p - 1)  pour p < q).
 
 
Pour n = 1 (et aussi pour n entier ou inverse d'entier), on obtient le noeud trivial (mais contrairement à ce qu'on pourrait attendre, le solénoïde n'est pas un cercle de Villarceau du tore).

Pour q = 2 (resp p = 2), on obtient des noeuds à p (resp. q) croisements :
 

n = 3/2 : noeud de trèfle
noeud premier 31

n = 5/2 : pentagrame
noeud premier 51

n = 7/2 : premier heptagramme
noeud premier 71

n = 9/2 : premier nonagramme
noeud premier 91
n = 2/3 :  on obtient bien le noeud de trèfle et non le noeud en huit, contrairement aux apparences (pour le noeud en huit, il faudrait inverser le croisement de gauche).

n = 2/5

n = 2/7

n = 2/9


 

n = 4/3
équivalent au 19ème noeud premier à 8 croisements

n = 5/3
équivalent au 124ème noeud premier à 10 croisements

n = 7/3
deuxième heptagramme
n = 9/4
troisième nonagramme

Les solénoïdes torique pour q = 2 sont des bords de rubans de Möbius à p torsions :
 

n = 1/2 : bord du ruban de Möbius classique (une torsion)

n = 3/2 : bord du ruban de Möbius à 3 torsions.

 
Lorsque p et q ne sont pas premiers entre eux, si l'on pose d = pgcd(p, q), p' = p/d, q' = q/d, n = p/q = p'/q', le solénoïde torique de type (p', q') et ses d -1 images par les rotations d'angle 2p/p d'axe l'axe du tore forment un entrelacs de d noeuds torique de type (p', q'), dénommé entrelacs torique de type (p, q). C'est également un entrelacs premier à nombre minimal de croisements p (q - 1) pour p > q (?).

Voici quelques exemples :

type (2,2), 
entrelacs premier 212
entrelacs de Hopf
type (4,2), 
entrelacs premier 412

type (4,4)

type (6,2), entrelacs premier 612

type (6,3)


type (6,4), deux noeuds de trèfle enlacés
type (8,2)

type (8,4)

 type (8,6)

type (9,3)

On peut réaliser l'entrelacs torique de type (p, q) en prenant q brins de même longueur mis côte à côte, en effectuant une torsion de p q-ièmes de tours et en recollant les brins bout à bout.
 

Par exemple pour le noeud (8, 3), il y a trois brins recollés après une torsion de 8 tiers de tours

Ce même noeud en scultpture par J. Robinson
Philip Trust Collection
Voir de magnifiques figures et explications sur le site :  www.knotplot.com/knot-theory/torus_xing.html

Les noeuds toriques sont aussi parfois définis sur le tore de Clifford ; leur paramétrisation y est beaucoup plus simple :  ; par identification de  avec , on peut les voir aussi comme l'image du cercle unité  par l'application : .

Les noeuds et entrelacs toriques pour p > 2q sont équivalents aux noeuds et entrelacs polygrammiques.

Comparer aussi avec les géodésiques du tore.

Achetez des pendantifs en noeud torique : www.golden-knots.com/pendant.html


Gravure d'Escher



Ce dessin représente en apparence un entrelacs torique de type (16,4), mais on remarquera que les croisements sont alternés (dessus-dessous), ce qui n'est pas le cas des entrelacs définis ci-dessus.

gravure de J. Mandonnet
même remarque pour ce qui est en apparence un noeud torique de type (8,3)

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© Robert FERRÉOL, Jacques MANDONNET 2011