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CRUCIFORME
Crosscurve, Kreuzkurve


Courbe étudiée par Terquem en 1847 et Schoute en 1883.
En anglais aussi appelée : policeman on point-duty curve (courbe du flic au carrefour...)

 
L'origine est un point isolé de la courbe algébrique "oublié" par la paramétrisation.
Équation cartésienne :  (cas particulier de courbe de Lamé) ou , ou , ou encore .
Paramétrisation cartésienne : .
Équation polaire pour a = b (cruciforme équilatère) :  (cas particulier d'épi).
Quartique rationnelle.

La cruciforme est l'image de l'ellipse par une inversion biaxiale (d'axes ceux de l'ellipse), définie ici par : . Les quatre asymptotes sont tangentes à l'ellipse de départ en ses sommets.
 
On l'obtient géométriquement comme lieu des points d'intersection des parallèles aux axes menées des deux points d'intersection d'une tangente à l'ellipse avec les axes.

La cruciforme est donc à l’ellipse ce que la puntiforme est à l’hyperbole.


 
La cruciforme équilatère est aussi le lieu du foyer d'une parabole astreinte à rester tangente à deux axes perpendiculaires ; c'est donc une glissette.

Pour une parabole de paramètre p, on obtient une cruciforme de paramètres a = b = p/2.

Dans ce mouvement, le lieu du sommet de la parabole (en vert ci-contre) est la courbe de paramétrisation :   (), d'équation .


 
La cruciforme équilatère est enfin la section plane d'un cône sinusoïdal.

 
Ci-contre, la famille des quartiques d'équation , qui ne sont plus rationnelles (en vert pour k < 0, en rouge pour  et en bleu pour k > 1).
La cruciforme est obtenue pour k = 1 (limite entre les courbes bleues et rouges).

Pour k > 0, ce sont les courbes de niveau du coussin de Bouligand.

L'inverse de la cruciforme équilatère par rapport à son centre est le quadrifolium, et sa polaire réciproque, l'astroïde.

Voir ici l'orthoptique de la cruciforme.
Comparer avec l'inverse biaxial de huit.
 
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© Robert FERRÉOL, Jacques MANDONNET 2012