Courbe étudiée par Terquem en 1847 et Schoute en 1883. En anglais aussi appelée : policeman on point-duty curve (courbe du flic au carrefour...)

 

L'origine est un point isolé de la courbe algébrique "oublié" par la paramétrisation.

Équation cartésienne :  (cas particulier de courbe de Lamé) ou , ou , ou encore . Paramétrisation cartésienne : . Équation polaire pour a = b (cruciforme équilatère) :  (cas particulier d'épi). Quartique rationnelle.

La cruciforme est l'image de l'ellipse par une inversion biaxiale (d'axes ceux de l'ellipse), définie ici par : . Les quatre asymptotes sont tangentes à l'ellipse de départ en ses sommets.
 

On l'obtient géométriquement comme lieu des points d'intersection des parallèles aux axes menées des deux points d'intersection d'une tangente à l'ellipse avec les axes. La cruciforme est donc à l’ellipse ce que la puntiforme est à l’hyperbole.

 

La cruciforme équilatère est aussi le lieu du foyer d'une parabole astreinte à rester tangente à deux axes perpendiculaires ; c'est donc une glissette. Pour une parabole de paramètre p, on obtient une cruciforme de paramètres a = b = p/2. Dans ce mouvement, le lieu du sommet de la parabole (en vert ci-contre) est la courbe de paramétrisation :           (), d'équation .

 

La cruciforme équilatère est enfin la section plane d'un cône sinusoïdal.

 

Ci-contre, la famille des quartiques d'équation , qui ne sont plus rationnelles (en vert pour k < 0, en rouge pour  et en bleu pour k > 1). La cruciforme est obtenue pour k = 1 (limite entre les courbes bleues et rouges). Pour k > 0, ce sont les courbes de niveau du coussin de Bouligand.

 

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courbe précédente

courbes 2D

courbes 3D

surfaces

fractals

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© Robert FERRÉOL, Jacques MANDONNET 2012