Trèfle à quatre feuilles

TRÈFLE À QUATRE FEUILLES
Four-leafed rose, Vierblatt

Autres nom : rosace à quatre branches, quadrifolium.

Équation polaire : .
Equation cartésienne : .
Sextique rationnelle
Paramétrisation cartésienne dans un repère tourné de : .
Longueur : .
Aire : (moitié de celle du disque circonscrit ; les pétales "négatifs" découpés sur ce disque ont donc même aire que les "positifs")

Le trèfle à quatre feuilles est la rosace à quatre pétales.

On peut l'obtenir comme trajectoire du deuxième point d'intersection d'une droite et d'un cercle tournant autour d'un de leurs points, soit dans le même sens le cercle tournant à une vitesse triple de la droite, soit en sens contraire avec la même vitessse.
On l'obtient aussi comme trajectoire du deuxième point d'intersection de deux cercles identiques tornant autour d'un de leurs points, en sens contraire l'un tournant à une vitesse triple de l'autre.

C'est le lieu des pieds des perpendiculaires issues de O sur un segment de longueur 2a dont les extrémités se déplacent sur les axes ; c’est donc la podaire par rapport à O de l’astroïde : (le trèfle à quatre feuilles est donc une scarabée) . Et c'est aussi l'enveloppe des cercles dont un diamètre joint O à un point de cette astroïde.

Le trèfle à quatre feuilles est également une hypotrochoïde :
somme de deux mouvements circulaires de même rayon, de sens contraires, les vitesses angulaires étant dans le rapport 3 ;
ou bien cercle de roulement de rayon , cercle roulant de rayon , distance du point au cercle roulant = .
quand le premier bras fait 1 tour, le deuxième en fait 3.

Comme pour toute rosace, le quadrifolium est la vue de dessus d'une clélie. Cette élégante courbe sphérique d'équation cylindrique est ici un cas limite de la couture de la balle de tennis.

Ci-contre, quadrifoliums homothétiques (en rouge), et leurs trajectoires orthogonales.