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ASTROÏDE
Astroid, Astroide (od. Sternkurve)


Courbe étudiée par Rømer en 1674, Jean Bernoulli en 1691, Leibniz en 1715 et par D'Alembert en 1748.
Nom donné par Littrow en 1838.
"Astroïde" signifie "en forme d'astre" (même étymologie qu' astéroïde : qui ressemble à un astre !)

Autres noms : H4 (hypocycloïde à quatre rebroussements), cubocycloïde.


 
Paramétrisation cartésienne : .
Équation cartésienne : (courbe de Lamé) ou  .
Sextique bicirculaire rationnelle.
Paramétrisation complexe : .
Angle tangentiel cartésien : 1) ou 2).
Abscisse curviligne : 1) ou 2) .
Rayon de courbure : 1) ou 2) .
Équation intrinsèque 1 (cas 1)): .
Équation intrinsèque 2 (cas 1)): .
Équation podaire : .
Longueur : 6a.
Aire : .

L’astroïde est une hypocycloïde à quatre rebroussements (cercle de rayon a/4 (ou 3a/4) roulant à l'intérieur d'un cercle (C) de rayon a).
 

Animation de la double génération

C’est donc l'enveloppe d'une corde (PQ) du cercle de centre O et de rayon a/2 (cercle inscrit dans l’astroïde), P et Q parcourant ce cercle dans des sens contraires, l’un ayant une vitesse triple de l’autre (génération de Cremona).

Ci-dessus, le point n est relié au point -3n modulo 30.

Et c’est aussi l’enveloppe d’un diamètre d'un cercle de rayon a/2 roulant à l'intérieur de (C).

Les extrémités de ce diamètre décrivent deux segments perpendiculaires.
 
 
L’astroïde est donc aussi l’enveloppe d'un segment [AB] de longueur a dont les extrémités se déplacent sur deux droites perpendiculaires. Le point de contact M est le projeté du sommet C du rectangle (OACB) sur [AB] (et les points de la droite (AB) décrivent eux une ellipse).

Le cas plus général où les droites ne sont pas perpendiculaires donne une tétracuspide.

Voir aussi le berlingot qui est la généralisation à l'espace de cette enveloppe.


 

D'après cette propriété, le bord de la trace sur le marchepied d'une porte coulissante d'autobus à deux battants est un huitième d'astroïde, suivi d'un arc de cercle :

Remarque : la courbe déterminée par un tableau de fils construit sur deux segments perpendiculaires n’est pas une astroïde, mais une autre courbe de Lamé qui est réunion de 4 arcs de paraboles (la longueur du segment [AB] n’est dans ce cas pas constante).
 

L’astroïde est aussi l’enveloppe des ellipses , avec  (traces dans le plan des points du segment [AB] ci-dessus).

Elle est enfin la caustique par réflexion d'une deltoïde, avec des rayons incidents parallèles de direction quelconque (bien comprendre comment une courbe à symétrie d'ordre 3 peut engendrer une courbe à symétrie d'ordre 4 ! ).
 
 

Lorsque les rayons incidents prennent toutes les directions possibles, les pointes de l'astroïde enveloppe décrivent une épicycloïde à 3 rebrousements.
On a une propriété similaire avec la cubique de Tschirnhausen.

 
 
Comme pour toute courbe cycloïdale, la développée est une astroïde semblable (dans un rapport 2) :
L'une des développantes est donc une astroïde ; en voici deux autres (voir aussi la croix de Malte) :
La courbe d'équation cartésienne :  est formée d'une astroïde et de deux développées d'hyperboles équilatères.

On peut la définir simplement comme l'enveloppe des droites coupant Ox et Oy en P et Q tels que la somme ou la différence de OP² et OQ² est constante.

Les podaires d'astroïde sont les scarabées.

Voir aussi à tétracuspide.

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© Robert FERRÉOL, Jacques MANDONNET 2006