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(COURBE) SECTRICE
Sectrix curve, Sektrix

Une sectrice est une courbe auxiliaire permettant de résoudre graphiquement le problème de la section d'un angle en n angles égaux avec n naturel  quelconque. Le cas le plus célèbre est le cas n = 3, puisque non résoluble à la règle et au compas ; les courbes correspondantes sont dénommées trisectrices (remarquer que bissectrice possède deux s, tandis que trisectrice nen a quun...).

Exemples de familles de courbes n- sectrices :
    - les sectrices de Maclaurin
    - les sectrices de Ceva.
    - les sectrices de Delanges.

Exemples de courbes n - sectrices pour tout n :
    - la spirale d'Archimède
    - la quadratrice de Dinostrate.
 

Exemples de trisectrices :
    - la conchoïde de Nicomède
    - la trisectrice de Maclaurin
    - la cubique de Tschirnhausen (ou trisectrice de Catalan)
    - le limaçon trisecteur
    - le trèfle équilatère (ou trisectrice de Longchamps)
    - la trisectrice de Ceva
    - la trisectrice de Delanges
    - le folium de Dürer
    - l'hyperbole d'excentricité 2.
 
 
Quatre des neuf trisectrices précédentes peuvent être définies à partir de la figure ci-contre, attribuée à Archimède, renfermant un angle et son triple.

Dans les 2 constructions suivantes, la longueur L est fixée.
 

Si l'on fixe A et (D), et que (D') pivote autour de A, C coulissant sur (D), le point D décrit la trisectrice de Ceva, de pôle A (et la droite (BC) enveloppe une astroïde).

Si l'on fixe C et D, et que (D) pivote autour de C, (D') pivote autour de D, B coulissant sur (D') décrit un cercle de centre C, mais surtout, A décrit le limaçon trisecteur, de pôle D.

Dans les 3 constructions suivantes la longueur L est variable.

Si l'on fixe A et C, et que (D') pivote autour de A, B décrit la médiatrice de [AC], mais surtout, D décrit la trisectrice de Maclaurin, de pôle A.

Si l'on fixe A et D, et que (D) pivote autour de A, B coulissant sur (D'), C décrit une hyperbole d'excentricité 2.

Une cinquième possibilité, explorée par Geneviève Tulloue, est de fixer D et (D), de faire pivoter (D') autour de D, A et C coulissant sur (D). Le point B décrit alors une courbe d'équation polaire , que l'on peut donc appeler "trisectrice de Tulloue".

AB = BC = CD=L

Animation de la construction de la trisectrice de Ceva par cette méthode (animations réalisées avec cabri par Geneviève Tulloue)

Animation de la construction du limaçon trisecteur par cette méthode :

Animation de la construction de la trisectrice de Maclaurin par cette méthode :

Animation de la construction de l'hyperbole d'excentricité 2 par cette méthode :

Animation de la construction de la trisectrice de Tulloue par cette méthode :

Lien en néerlandais sur les trisectrices : www.pandd.demon.nl/trisect.htm#top
 
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© Robert FERRÉOL  2013