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DELTOÏDE
Deltoid or three-cusped hypocycloid, Deltoide (od. Dreispitzige)

Courbe étudiée par Euler en 1745 et Steiner en 1856.
Delta : lettre grecque rappelant la forme de la courbe.
Autres noms : hypocycloïde à 3 rebroussements, H3, hypocycloïde de Steiner, ou tricuspide.

 
Paramétrisation complexe : .
Paramétrisation cartésienne : .
Équation cartésienne : .
Quartique circulaire rationnelle.
Paramétrisation polaire : .
Abscisse curviligne : 1)  ou 2) .
Angle tangentiel cartésien : 1)  ou 2) .
Rayon de courbure  1)  ou 2) .
Équation intrinsèque 1 (forme 1)) : .
Équation intrinsèque 2 (forme 1)) : .
Équation podaire : .
Longueur : .
Aire :  (double de celle du cercle inscrit).

La deltoïde est l'hypocycloïde à trois rebroussements (cercle de rayon a roulant à l'intérieur d'un cercle de rayon 3a).


D’après la double génération des hypocycloïdes, un point d'un cercle de rayon 2a roulant à l'intérieur du cercle de rayon 3a décrit une deltoïde isométrique, mais en sens inverse et l’un de ses diamètres enveloppe aussi une deltoïde isométrique.

Animation ralentie de la double génération

 
La deltoïde est aussi l'enveloppe d'une corde (PQ) du cercle de centre O et de rayon a (cercle inscrit dans la deltoïde), P et Q parcourant ce cercle dans des sens contraires, l’un ayant une vitesse double de l’autre (génération de Cremona).

Ci-dessus, le point n est relié au point -2n modulo 30.


 
Mais la plus élégante génération tangentielle est celle décrite ci-contre : les deux points traceurs P et Q décrivent la deltoïde, et la droite (PQ) reste tangente à cette même deltoïde !
De plus, le fait que la longueur PQ reste constante donne une réponse (partielle) au problème dit de Kakeya : comment retourner une aiguille (de longueur 1) dans le plan de sorte qu'elle balaie une aire la plus petite possible ?

Ici, l'aire balayée vaut , et on a longtemps pensé que c'était l'aire la plus petite possible ; mais en 1928, Besicovitch a démontré que l'on pouvait retourner une aiguille dans une aire aussi petite qu'on veut. Cependant, dans sa méthode, le mouvement des extrémités de l'aiguille se fait par approximations successives, et ne peut donc être rendu analytique comme l'est le mouvement deltoïdien.

REM : attention : l'aiguille glisse sur la deltoïde lors de son déplacement !

Une autre construction mécanique de la génération tangentielle, duale de la précédente, à partir de l'épicycloïde à 3 rebroussements.

L'enveloppe des droites de Simson (qui passent par les projetés sur les trois côtés d'un point du cercle circonscrit ) d'un triangle quelconque est une deltoïde centrée au centre du cercle d'Euler du triangle, appelée hypocycloïde de Steiner du triangle.

Comme pour toute courbe cycloïdale, la développée de la deltoïde est une deltoïde semblable (dans un rapport 3) :

L'une des développantes est donc une deltoïde ; les autres sont auto-parallèles :

Les podaires de la deltoïde sont les foliums, et l'antipodaire d'une ellipse par rapport à un sommet principal donne une deltoïde dilatée (voir à courbe de Talbot).
Ses caustiques par réflexion au soleil sont des astroïdes.
Son orthoptique est son cercle inscrit.
Sa radiale est un trifolium régulier.

Voir aussi :
http://poncelet.math.nthu.edu.tw/disk3/cabrijava/deltoid-in-nephroid.html
 
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© Robert FERRÉOL, Jacques MANDONNET 2010