4-Hypercube

HYPERCUBE DE DIMENSION 4 ou TESSERACT

Projection affine du squelette de l'hypercube dans E₃, anaglyphe à regarder avec des lunettes rouge (à gauche) et bleu (à droite).

Autre projection affine dans E₃:
essayer de voir les huit cubes, 3 par arêtes.

Le images Povray de cette pageont été réalisées par Alain Esculier.
Lien : mathematische-basteleien.de/hypercube.htm

Coordonnées des sommets regroupés par arêtes :
[[-1,-1,-1,-1],[1,-1,-1,-1]],[[1,-1,-1,-1],[1,1,-1,-1]],[[1,1,-1,-1],[1,1,1,-1]],[[1,1,1,-1],[1,1,1,1]],[[1,1,-1,-1],[1,1,-1,1]],[[1,1,-1,1],[1,1,1,1]],[[1,-1,-1,-1],[1,-1,1,-1]],[[1,-1,1,-1],[1,1,1,-1]],[[1,-1,1,-1],[1,-1,1,1]],[[1,-1,1,1],[1,1,1,1]],
[[1,-1,-1,-1],[1,-1,-1,1]],[[1,-1,-1,1],[1,1,-1,1]],[[1,-1,-1,1],[1,-1,1,1]],[[-1,-1,-1,-1],[-1,1,-1,-1]],[[-1,1,-1,-1],[1,1,-1,-1]],[[-1,1,-1,-1],[-1,1,1,-1]],[[-1,1,1,-1],[1,1,1,-1]],[[-1,1,1,-1],[-1,1,1,1]],[[-1,1,1,1],[1,1,1,1]],
[[-1,1,-1,-1],[-1,1,-1,1]],[[-1,1,-1,1],[1,1,-1,1]],[[-1,1,-1,1],[-1,1,1,1]],[[-1,-1,-1,-1],[-1,-1,1,-1]],[[-1,-1,1,-1],[1,-1,1,-1]],[[-1,-1,1,-1],[-1,1,1,-1]],[[-1,-1,1,-1],[-1,-1,1,1]],[[-1,-1,1,1],[1,-1,1,1]],[[-1,-1,1,1],[-1,1,1,1]],
[[-1,-1,-1,-1],[-1,-1,-1,1]],[[-1,-1,-1,1],[1,-1,-1,1]],[[-1,-1,-1,1],[-1,1,-1,1]],[[-1,-1,-1,1],[-1,-1,1,1]]

Étymologie	tesseract (ou tessaract) : du grec tessares "quatre". Ce nom a été donné par Charles Howard Hinton.
Autres noms	4-cube, 4-hypercube, octachore.
Définitions	polychore (= 4-polytope) dont toutes les cellules sont des cubes ou dont toutes les faces sont des carrés. parallélochore à arêtes de mêmes longueur.
Famille	polychore régulier
Dual	cocube de dimension 4
Cellules	8 cubes
Faces	24 carrés
Arêtes	32 arêtes de longueur a appartenant chacune à 3 face et à 3 cellules.
Sommets	16 sommets appartenant chacun à 4 arêtes, 6 faces, et 4 cellules.
Patron	261 patrons en tout
Polyèdre de Schlegel (graphe des arêtes)
Diamètres	sphère inscrite : a ; sphère circonscrite : 2a
Mensurations	hypervolume : a⁴ volume des cellules : 8 a³
Coordonnées des sommets	avec , ou avec x_i= 0 ou a. 2 sommets sont reliés par une arête sss'ils ne diffèrent que d'une coordonnée, ils sont dans la même face sss'ils ont au moins deux coordonnées identiques et sont dans la même cellule sss'ils ont au moins une coordonnée identique.
Groupe des isométries	ordre 384 = 2⁷.3 = 2⁴.4!
Polychores dérivés

Projection affine de l'hypercube 4D avec indication des huits cellules.

Un segment translaté donne un carré, qui translaté donne un cube, qui translaté donne un hypercube 4D etc....

Les coordonnées des sommets d'un hypercube 4D de diagonale [(0,0,0,0) (1,1,1,1)] écrites sans parenthèses donnent les entiers de 1 à 15 écrits en binaire. Ceci permet un codage simple de ces sommets.

Ci-contre une figure montrant quelles faces se recollent entre elles lorsqu'on passe du patron à l'hypercube. Ceci s'effectue par des rotations autour des arêtes en dimension 4.

A droite le célèbre tableau de Dali "crucifixion" ou la croix est remplacée par un patron d'hypercube.

De même que la perspective d'un cube vu de face (c'est-à-dire la perspective conique plane) donne la figure ci-contre à gauche, la perspective conique d'un hypercube 4D sur un hyperplan parallèle à une cellule, elle même projetée (affinement cette fois) sur un plan, donne la figure de droite.
On remarquera que de même que la perpective du cube ne donne que 5 faces apparentes (la sixième recouvre les autres), la perspective de l'hypercube ne donne que 7 cellules apparentes.

Un projection conique inhabituelle de l'hypercube, en tétraèdre régulier : 4 des huits cubes se projettent en des hexaçèdres et les 4 autres dégénèrent en des tétraèdres. L'observateur est placé un un sommet et regarde suivant une diagonale.

De la même façon qu'un cube plein se projette orthogonalement sur le plan orthogonal à une grande diagonale en un hexagone régulier plein, un hypercube 4D plein se projette sur l'hyperplan orthogonal à une grande diagonale en un dodécaèdre rhombique plein.
Dans l'anaglyphe ci-contre, à regarder avec des lunettes rouge (à gauche) et bleu (à droite)., on essaiera de distinguer les 8 parallélépipèdes projetés des 8 cellules cubiques de l'hypercube.

Voir aussi ce site : dogfeathers.com/mark/rhdodec.html

La section d'un hypercube 4D par un hyperplan orthogonal à une grande diagonale et passant par le centre est, elle, un octaèdre régulier.

La section d'un hypercube 4D par l'hyperplan contenant les quatre sommets
voisins d'un sommet donné est un tétraèdre régulier.

Voir aussi un hypercube stéréoscopique animé sur dogfeathers.com/java/hyprcube.html

L'architecte de la grande arche de la Défense a-t-il pensé à l'hypercube en la concevant ?

"Ipercubo", sculpture d'Attilio Pierelli.

Des boucles d'oreilles avec patron d'hypercube

polyèdre suivant polyèdre précédent courbes 2D courbes 3D surfaces fractals polyèdres