Icositétratope

HYPERGRANATOÈDRE
24-cell, 24-Zell

Projections conique dans R³: les arêtes sont coloriées suivant leur distance au centre.

Origine du nom de hyper et granatoèdre, autre nom du dodécaèdre rhombique (à cause de leurs constructions similaires)

Autres noms C₂₄, 24 cellules, icositétrachore, icositétratope (de icosi "20" et tétra "4"), polyoctaèdre, octaplexe (= complexe d'octaèdres)

Famille polychore régulier

Dual lui-même

Symbole de Schläfli {3, 4, 3} (3 cellules octaédriques autour de chaque arête)

Cellules 24 octaèdres

Faces 96 triangles

Arêtes 96 arêtes de longueur a communes chacune à 3 faces et 3 cellules

Sommets 24 sommets ; à chaque sommet aboutissent 8 arêtes, 12 triangles et 6 octaèdres

Base de calotte cube

Patrons environ 1,8. 10¹⁶ patrons différents en tout

Graphe des arêtes graphe à 24 sommets régulier de degré 8 ; voir ici des renseignements supplémentaires

Diamètres hypersphère inscrite : 2a ; hypersphère circonscrite : 2a

Mensurations hypervolume : volume de sa frontière :

Construction augmentation d'un 4-hypercube (coller huit hyperpyramides à base cubiques sur les huit cellules de l'hypercube)
troncature d'un 4-hyperoctaèdre (les sommets de l'hypergranatoèdre sont les milieux des 24 arêtes de l'hyperoctaèdre).

Coordonnées
des sommets, arêtes, faces, cellules en dimension 4
(±1, ±1, 0, 0) et permutés pour une longueur d'arête a =
Deux sommets sont extrémités de la même arête ss'ils ont exactement deux coordonnées en commun, par exemple : (1,1,0,0) et (1,0,1,0) ;
ci-dessous, la liste des arêtes, regroupées en 24 carrés disjoints :
[[[-1,0,-1,0],[-1,-1,0,0],[0,-1,0,1],[0,0,-1,1],[-1,0,-1,0]], [[-1,0,-1,0],[-1,0,0,-1],[-1,0,1,0],[-1,0,0,1],[-1,0,-1,0]], [[-1,0,-1,0],[0,0,-1,-1],[0,1,0,-1],[-1,1,0,0],[-1,0,-1,0]], [[-1,0,0,1],[-1,-1,0,0],[0,-1,1,0],[0,0,1,1],[-1,0,0,1]], [[0,-1,-1,0],[0,-1,0,-1],[0,-1,1,0],[0,-1,0,1],[0,-1,-1,0]], [[0,-1,-1,0],[0,0,-1,-1],[-1,0,0,-1],[-1,-1,0,0],[0,-1,-1,0]], [[0,-1,-1,0],[1,-1,0,0],[1,0,0,1],[0,0,-1,1],[0,-1,-1,0]], [[0,-1,0,-1],[0,0,1,-1],[-1,0,1,0],[-1,-1,0,0],[0,-1,0,-1]], [[0,-1,0,-1],[1,0,0,-1],[0,1,0,-1],[-1,0,0,-1],[0,-1,0,-1]], [[0,1,-1,0],[-1,1,0,0],[-1,0,0,1],[0,0,-1,1],[0,1,-1,0]], [[0,1,-1,0],[0,0,-1,-1],[1,0,0,-1],[1,1,0,0],[0,1,-1,0]], [[0,1,-1,0],[0,1,0,-1],[0,1,1,0],[0,1,0,1],[0,1,-1,0]], [[0,1,1,0],[-1,1,0,0],[-1,0,0,-1],[0,0,1,-1],[0,1,1,0]], [[0,1,0,1],[-1,1,0,0],[-1,0,1,0],[0,0,1,1],[0,1,0,1]], [[1,-1,0,0],[1,0,0,-1],[0,0,1,-1],[0,-1,1,0],[1,-1,0,0]], [[1,-1,0,0],[1,0,1,0],[0,0,1,1],[0,-1,0,1],[1,-1,0,0]], [[1,0,0,1],[0,1,0,1],[-1,0,0,1],[0,-1,0,1],[1,0,0,1]], [[1,0,0,1],[1,1,0,0],[0,1,1,0],[0,0,1,1],[1,0,0,1]], [[1,0,-1,0],[0,0,-1,-1],[0,-1,0,-1],[1,-1,0,0],[1,0,-1,0]], [[1,0,-1,0],[0,1,-1,0],[-1,0,-1,0],[0,-1,-1,0],[1,0,-1,0]], [[1,0,-1,0],[1,0,0,-1],[1,0,1,0],[1,0,0,1],[1,0,-1,0]], [[1,0,-1,0],[1,1,0,0],[0,1,0,1],[0,0,-1,1],[1,0,-1,0]], [[1,0,1,0],[0,1,1,0],[-1,0,1,0],[0,-1,1,0],[1,0,1,0]], [[1,0,1,0],[1,1,0,0],[0,1,0,-1],[0,0,1,-1],[1,0,1,0]]]
Trois sommets s'ils sont du type ( a,b,0,0 ),( a,0,c,0) et (a,0,0,d) ou (0,a,b,0), (0,0,b,c) et (0,a,0,c), avec a,b,c égaux à +-1, avec permutations possibles (noter qu'il y a deux coordonnées identiques)

Autres coordonnées possibles (celles du dual en fait) (±2, 0, 0, 0) et permutés (8 sommets d'un hyperoctaèdre)
et (±1, ±1, ±1, ±1) (16 sommets d'un hypercube) pour une longueur d'arête a = 2 ; ci-dessous, la liste des 96 arêtes :
[[[-2, 0, 0, 0], [-1, -1, -1, -1]], [[-2, 0, 0, 0], [-1, -1, -1, 1]], [[-2, 0, 0, 0], [-1, -1, 1, -1]], [[-2, 0, 0, 0], [-1, -1, 1, 1]], [[-2, 0, 0, 0], [-1, 1, -1, -1]], [[-2, 0, 0, 0], [-1, 1, -1, 1]], [[-2, 0, 0, 0], [-1, 1, 1, -1]], [[-2, 0, 0, 0], [-1, 1, 1, 1]], [[2, 0, 0, 0], [1, -1, -1, -1]], [[2, 0, 0, 0], [1, -1, -1, 1]], [[2, 0, 0, 0], [1, -1, 1, -1]], [[2, 0, 0, 0], [1, -1, 1, 1]], [[2, 0, 0, 0], [1, 1, -1, -1]], [[2, 0, 0, 0], [1, 1, -1, 1]], [[2, 0, 0, 0], [1, 1, 1, -1]], [[2, 0, 0, 0], [1, 1, 1, 1]], [[0, -2, 0, 0], [-1, -1, -1, -1]], [[0, -2, 0, 0], [-1, -1, -1, 1]], [[0, -2, 0, 0], [-1, -1, 1, -1]], [[0, -2, 0, 0], [-1, -1, 1, 1]], [[0, -2, 0, 0], [1, -1, -1, -1]], [[0, -2, 0, 0], [1, -1, -1, 1]], [[0, -2, 0, 0], [1, -1, 1, -1]], [[0, -2, 0, 0], [1, -1, 1, 1]], [[0, 2, 0, 0], [-1, 1, -1, -1]], [[0, 2, 0, 0], [-1, 1, -1, 1]], [[0, 2, 0, 0], [-1, 1, 1, -1]], [[0, 2, 0, 0], [-1, 1, 1, 1]], [[0, 2, 0, 0], [1, 1, -1, -1]], [[0, 2, 0, 0], [1, 1, -1, 1]], [[0, 2, 0, 0], [1, 1, 1, -1]], [[0, 2, 0, 0], [1, 1, 1, 1]], [[0, 0, -2, 0], [-1, -1, -1, -1]], [[0, 0, -2, 0], [-1, -1, -1, 1]], [[0, 0, -2, 0], [-1, 1, -1, -1]], [[0, 0, -2, 0], [-1, 1, -1, 1]], [[0, 0, -2, 0], [1, -1, -1, -1]], [[0, 0, -2, 0], [1, -1, -1, 1]], [[0, 0, -2, 0], [1, 1, -1, -1]], [[0, 0, -2, 0], [1, 1, -1, 1]], [[0, 0, 2, 0], [-1, -1, 1, -1]], [[0, 0, 2, 0], [-1, -1, 1, 1]], [[0, 0, 2, 0], [-1, 1, 1, -1]], [[0, 0, 2, 0], [-1, 1, 1, 1]], [[0, 0, 2, 0], [1, -1, 1, -1]], [[0, 0, 2, 0], [1, -1, 1, 1]], [[0, 0, 2, 0], [1, 1, 1, -1]], [[0, 0, 2, 0], [1, 1, 1, 1]], [[0, 0, 0, -2], [-1, -1, -1, -1]], [[0, 0, 0, -2], [-1, -1, 1, -1]], [[0, 0, 0, -2], [-1, 1, -1, -1]], [[0, 0, 0, -2], [-1, 1, 1, -1]], [[0, 0, 0, -2], [1, -1, -1, -1]], [[0, 0, 0, -2], [1, -1, 1, -1]], [[0, 0, 0, -2], [1, 1, -1, -1]], [[0, 0, 0, -2], [1, 1, 1, -1]], [[0, 0, 0, 2], [-1, -1, -1, 1]], [[0, 0, 0, 2], [-1, -1, 1, 1]], [[0, 0, 0, 2], [-1, 1, -1, 1]], [[0, 0, 0, 2], [-1, 1, 1, 1]], [[0, 0, 0, 2], [1, -1, -1, 1]], [[0, 0, 0, 2], [1, -1, 1, 1]], [[0, 0, 0, 2], [1, 1, -1, 1]], [[0, 0, 0, 2], [1, 1, 1, 1]], [[-1, -1, -1, -1], [-1, -1, -1, 1]], [[-1, -1, -1, -1], [-1, -1, 1, -1]], [[-1, -1, -1, -1], [-1, 1, -1, -1]], [[-1, -1, -1, -1], [1, -1, -1, -1]], [[-1, -1, -1, 1], [-1, -1, 1, 1]], [[-1, -1, -1, 1], [-1, 1, -1, 1]], [[-1, -1, -1, 1], [1, -1, -1, 1]], [[-1, -1, 1, -1], [-1, -1, 1, 1]], [[-1, -1, 1, -1], [-1, 1, 1, -1]], [[-1, -1, 1, -1], [1, -1, 1, -1]], [[-1, -1, 1, 1], [-1, 1, 1, 1]], [[-1, -1, 1, 1], [1, -1, 1, 1]], [[-1, 1, -1, -1], [-1, 1, -1, 1]], [[-1, 1, -1, -1], [-1, 1, 1, -1]], [[-1, 1, -1, -1], [1, 1, -1, -1]], [[-1, 1, -1, 1], [-1, 1, 1, 1]], [[-1, 1, -1, 1], [1, 1, -1, 1]], [[-1, 1, 1, -1], [-1, 1, 1, 1]], [[-1, 1, 1, -1], [1, 1, 1, -1]], [[-1, 1, 1, 1], [1, 1, 1, 1]], [[1, -1, -1, -1], [1, -1, -1, 1]], [[1, -1, -1, -1], [1, -1, 1, -1]], [[1, -1, -1, -1], [1, 1, -1, -1]], [[1, -1, -1, 1], [1, -1, 1, 1]], [[1, -1, -1, 1], [1, 1, -1, 1]], [[1, -1, 1, -1], [1, -1, 1, 1]], [[1, -1, 1, -1], [1, 1, 1, -1]], [[1, -1, 1, 1], [1, 1, 1, 1]], [[1, 1, -1, -1], [1, 1, -1, 1]], [[1, 1, -1, -1], [1, 1, 1, -1]], [[1, 1, -1, 1], [1, 1, 1, 1]], [[1, 1, 1, -1], [1, 1, 1, 1]]]

Coordonnées des sommets d'une projection conique en dimension 3 (utilisée pour la vue ci-dessus) (±a,±a,0) et permutés, (±b,0,0) et permutés, (±c,0,0) et permutés ; ci-dessous, la liste arêtes regroupées en 24 carrés :
[[[a, 0., a], [a, a, 0.], [0., b, 0.], [0., 0., b], [a, 0., a]], [[a, 0., a], [c, 0., 0.], [a, 0., -a], [b, 0., 0.], [a, 0., a]], [[a, 0., a], [0., 0., c], [0., -c, 0.], [a, -a, 0.], [a, 0., a]], [[b, 0., 0.], [a, a, 0.], [0., a, -a], [0., 0., -a], [b, 0., 0.]], [[0., a, a], [0., c, 0.], [0., a, -a], [0., b, 0.], [0., a, a]], [[0., a, a], [0., 0., c], [c, 0., 0.], [a, a, 0.], [0., a, a]], [[0., a, a], [-a, a, 0.], [-a, 0., 0.], [0., 0., b], [0., a, a]], [[0., c, 0.], [0., 0., -c], [a, 0., -a], [a, a, 0.], [0., c, 0.]], [[0., c, 0.], [-c, 0., 0.], [0., -c, 0.], [c, 0., 0.], [0., c, 0.]], [[0., -a, a], [a, -a, 0.], [b, 0., 0.], [0., 0., b], [0., -a, a]], [[0., -a, a], [0., 0., c], [-c, 0., 0.], [-a, -a, 0.], [0., -a, a]], [[0., -a, a], [0., -c, 0.], [0., -a, -a], [0., -a, 0.], [0., -a, a]], [[0., -a, -a], [a, -a, 0.], [c, 0., 0.], [0., 0., -c], [0., -a, -a]], [[0., -a, 0.], [a, -a, 0.], [a, 0., -a], [0., 0., -a], [0., -a, 0.]], [[-a, a, 0.], [-c, 0., 0.], [0., 0., -c], [0., a, -a], [-a, a, 0.]], [[-a, a, 0.], [-a, 0., -a], [0., 0., -a], [0., b, 0.], [-a, a, 0.]], [[-a, 0., 0.], [0., -a, 0.], [b, 0., 0.], [0., b, 0.], [-a, 0., 0.]], [[-a, 0., 0.], [-a, -a, 0.], [0., -a, -a], [0., 0., -a], [-a, 0., 0.]], [[-a, 0., a], [0., 0., c], [0., c, 0.], [-a, a, 0.], [-a, 0., a]], [[-a, 0., a], [0., -a, a], [a, 0., a], [0., a, a], [-a, 0., a]], [[-a, 0., a], [-c, 0., 0.], [-a, 0., -a], [-a, 0., 0.], [-a, 0., a]], [[-a, 0., a], [-a, -a, 0.], [0., -a, 0.], [0., 0., b], [-a, 0., a]], [[-a, 0., -a], [0., -a, -a], [a, 0., -a], [0., a, -a], [-a, 0., -a]], [[-a, 0., -a], [-a, -a, 0.], [0., -c, 0.], [0., 0., -c], [-a, 0., -a]]]

Groupe des isométries d'ordre 2.24² = 1152, dont la symétrie centrale.

Remarques : pave l'espace de dimension 4, comme l'hypercube et l'hyperoctaèdre (considérer un pavage d'hypercubes et former dans un hypercube sur 2 les 8 hyperpyramides de base une cellule et de sommet le centre de l'hypercube, et les accoler aux hypercubes contigus afin de former des hypergranatoèdres)
seul polytope régulier autodual ayant un centre de symétrie

Sites fr.wikipedia.org/wiki/Icositétrachore
http://mathworld.wolfram.com/24-Cell.html
www.polytope.de/c24.html
eusebeia.dyndns.org/4d/24-cell.html
www.bathsheba.com/math/24cell/index.html
www.science.psu.edu/alert/math10-2005.htm
en.wikipedia.org/wiki/Octacube_(mathematics)
Voir aussi : Pour la Science, mars 2006 p. 96

Les sommets de l'hypergranatoèdre sont les centres des 24 faces d'un hypercube ; les arêtes de l'hypergranatoèdre sont alors les 96 = 8.12 arêtes des 8 octaèdres déterminés par les milieux des faces des 8 cellules de l'hypercube.

Gravure réalisée par Patrice Jeener, avec son aimable autorisation.

polyèdre suivant polyèdre précédent courbes 2D courbes 3D surfaces fractals polyèdres

Origine du nom	de hyper et granatoèdre, autre nom du dodécaèdre rhombique (à cause de leurs constructions similaires)
Autres noms	C₂₄, 24 cellules, icositétrachore, icositétratope (de icosi "20" et tétra "4"), polyoctaèdre, octaplexe (= complexe d'octaèdres)
Famille	polychore régulier
Dual	lui-même
Symbole de Schläfli	{3, 4, 3} (3 cellules octaédriques autour de chaque arête)
Cellules	24 octaèdres
Faces	96 triangles
Arêtes	96 arêtes de longueur a communes chacune à 3 faces et 3 cellules
Sommets	24 sommets ; à chaque sommet aboutissent 8 arêtes, 12 triangles et 6 octaèdres
Base de calotte	cube
Patrons	environ 1,8. 10¹⁶ patrons différents en tout
Graphe des arêtes	graphe à 24 sommets régulier de degré 8 ; voir ici des renseignements supplémentaires
Diamètres	hypersphère inscrite : 2a ; hypersphère circonscrite : 2a
Mensurations	hypervolume : volume de sa frontière :
Construction	augmentation d'un 4-hypercube (coller huit hyperpyramides à base cubiques sur les huit cellules de l'hypercube) troncature d'un 4-hyperoctaèdre (les sommets de l'hypergranatoèdre sont les milieux des 24 arêtes de l'hyperoctaèdre).
Coordonnées des sommets, arêtes, faces, cellules en dimension 4	(±1, ±1, 0, 0) et permutés pour une longueur d'arête a = Deux sommets sont extrémités de la même arête ss'ils ont exactement deux coordonnées en commun, par exemple : (1,1,0,0) et (1,0,1,0) ; ci-dessous, la liste des arêtes, regroupées en 24 carrés disjoints : [[[-1,0,-1,0],[-1,-1,0,0],[0,-1,0,1],[0,0,-1,1],[-1,0,-1,0]], [[-1,0,-1,0],[-1,0,0,-1],[-1,0,1,0],[-1,0,0,1],[-1,0,-1,0]], [[-1,0,-1,0],[0,0,-1,-1],[0,1,0,-1],[-1,1,0,0],[-1,0,-1,0]], [[-1,0,0,1],[-1,-1,0,0],[0,-1,1,0],[0,0,1,1],[-1,0,0,1]], [[0,-1,-1,0],[0,-1,0,-1],[0,-1,1,0],[0,-1,0,1],[0,-1,-1,0]], [[0,-1,-1,0],[0,0,-1,-1],[-1,0,0,-1],[-1,-1,0,0],[0,-1,-1,0]], [[0,-1,-1,0],[1,-1,0,0],[1,0,0,1],[0,0,-1,1],[0,-1,-1,0]], [[0,-1,0,-1],[0,0,1,-1],[-1,0,1,0],[-1,-1,0,0],[0,-1,0,-1]], [[0,-1,0,-1],[1,0,0,-1],[0,1,0,-1],[-1,0,0,-1],[0,-1,0,-1]], [[0,1,-1,0],[-1,1,0,0],[-1,0,0,1],[0,0,-1,1],[0,1,-1,0]], [[0,1,-1,0],[0,0,-1,-1],[1,0,0,-1],[1,1,0,0],[0,1,-1,0]], [[0,1,-1,0],[0,1,0,-1],[0,1,1,0],[0,1,0,1],[0,1,-1,0]], [[0,1,1,0],[-1,1,0,0],[-1,0,0,-1],[0,0,1,-1],[0,1,1,0]], [[0,1,0,1],[-1,1,0,0],[-1,0,1,0],[0,0,1,1],[0,1,0,1]], [[1,-1,0,0],[1,0,0,-1],[0,0,1,-1],[0,-1,1,0],[1,-1,0,0]], [[1,-1,0,0],[1,0,1,0],[0,0,1,1],[0,-1,0,1],[1,-1,0,0]], [[1,0,0,1],[0,1,0,1],[-1,0,0,1],[0,-1,0,1],[1,0,0,1]], [[1,0,0,1],[1,1,0,0],[0,1,1,0],[0,0,1,1],[1,0,0,1]], [[1,0,-1,0],[0,0,-1,-1],[0,-1,0,-1],[1,-1,0,0],[1,0,-1,0]], [[1,0,-1,0],[0,1,-1,0],[-1,0,-1,0],[0,-1,-1,0],[1,0,-1,0]], [[1,0,-1,0],[1,0,0,-1],[1,0,1,0],[1,0,0,1],[1,0,-1,0]], [[1,0,-1,0],[1,1,0,0],[0,1,0,1],[0,0,-1,1],[1,0,-1,0]], [[1,0,1,0],[0,1,1,0],[-1,0,1,0],[0,-1,1,0],[1,0,1,0]], [[1,0,1,0],[1,1,0,0],[0,1,0,-1],[0,0,1,-1],[1,0,1,0]]] Trois sommets s'ils sont du type ( a,b,0,0 ),( a,0,c,0) et (a,0,0,d) ou (0,a,b,0), (0,0,b,c) et (0,a,0,c), avec a,b,c égaux à +-1, avec permutations possibles (noter qu'il y a deux coordonnées identiques)
Autres coordonnées possibles (celles du dual en fait)	(±2, 0, 0, 0) et permutés (8 sommets d'un hyperoctaèdre) et (±1, ±1, ±1, ±1) (16 sommets d'un hypercube) pour une longueur d'arête a = 2 ; ci-dessous, la liste des 96 arêtes : [[[-2, 0, 0, 0], [-1, -1, -1, -1]], [[-2, 0, 0, 0], [-1, -1, -1, 1]], [[-2, 0, 0, 0], [-1, -1, 1, -1]], [[-2, 0, 0, 0], [-1, -1, 1, 1]], [[-2, 0, 0, 0], [-1, 1, -1, -1]], [[-2, 0, 0, 0], [-1, 1, -1, 1]], [[-2, 0, 0, 0], [-1, 1, 1, -1]], [[-2, 0, 0, 0], [-1, 1, 1, 1]], [[2, 0, 0, 0], [1, -1, -1, -1]], [[2, 0, 0, 0], [1, -1, -1, 1]], [[2, 0, 0, 0], [1, -1, 1, -1]], [[2, 0, 0, 0], [1, -1, 1, 1]], [[2, 0, 0, 0], [1, 1, -1, -1]], [[2, 0, 0, 0], [1, 1, -1, 1]], [[2, 0, 0, 0], [1, 1, 1, -1]], [[2, 0, 0, 0], [1, 1, 1, 1]], [[0, -2, 0, 0], [-1, -1, -1, -1]], [[0, -2, 0, 0], [-1, -1, -1, 1]], [[0, -2, 0, 0], [-1, -1, 1, -1]], [[0, -2, 0, 0], [-1, -1, 1, 1]], [[0, -2, 0, 0], [1, -1, -1, -1]], [[0, -2, 0, 0], [1, -1, -1, 1]], [[0, -2, 0, 0], [1, -1, 1, -1]], [[0, -2, 0, 0], [1, -1, 1, 1]], [[0, 2, 0, 0], [-1, 1, -1, -1]], [[0, 2, 0, 0], [-1, 1, -1, 1]], [[0, 2, 0, 0], [-1, 1, 1, -1]], [[0, 2, 0, 0], [-1, 1, 1, 1]], [[0, 2, 0, 0], [1, 1, -1, -1]], [[0, 2, 0, 0], [1, 1, -1, 1]], [[0, 2, 0, 0], [1, 1, 1, -1]], [[0, 2, 0, 0], [1, 1, 1, 1]], [[0, 0, -2, 0], [-1, -1, -1, -1]], [[0, 0, -2, 0], [-1, -1, -1, 1]], [[0, 0, -2, 0], [-1, 1, -1, -1]], [[0, 0, -2, 0], [-1, 1, -1, 1]], [[0, 0, -2, 0], [1, -1, -1, -1]], [[0, 0, -2, 0], [1, -1, -1, 1]], [[0, 0, -2, 0], [1, 1, -1, -1]], [[0, 0, -2, 0], [1, 1, -1, 1]], [[0, 0, 2, 0], [-1, -1, 1, -1]], [[0, 0, 2, 0], [-1, -1, 1, 1]], [[0, 0, 2, 0], [-1, 1, 1, -1]], [[0, 0, 2, 0], [-1, 1, 1, 1]], [[0, 0, 2, 0], [1, -1, 1, -1]], [[0, 0, 2, 0], [1, -1, 1, 1]], [[0, 0, 2, 0], [1, 1, 1, -1]], [[0, 0, 2, 0], [1, 1, 1, 1]], [[0, 0, 0, -2], [-1, -1, -1, -1]], [[0, 0, 0, -2], [-1, -1, 1, -1]], [[0, 0, 0, -2], [-1, 1, -1, -1]], [[0, 0, 0, -2], [-1, 1, 1, -1]], [[0, 0, 0, -2], [1, -1, -1, -1]], [[0, 0, 0, -2], [1, -1, 1, -1]], [[0, 0, 0, -2], [1, 1, -1, -1]], [[0, 0, 0, -2], [1, 1, 1, -1]], [[0, 0, 0, 2], [-1, -1, -1, 1]], [[0, 0, 0, 2], [-1, -1, 1, 1]], [[0, 0, 0, 2], [-1, 1, -1, 1]], [[0, 0, 0, 2], [-1, 1, 1, 1]], [[0, 0, 0, 2], [1, -1, -1, 1]], [[0, 0, 0, 2], [1, -1, 1, 1]], [[0, 0, 0, 2], [1, 1, -1, 1]], [[0, 0, 0, 2], [1, 1, 1, 1]], [[-1, -1, -1, -1], [-1, -1, -1, 1]], [[-1, -1, -1, -1], [-1, -1, 1, -1]], [[-1, -1, -1, -1], [-1, 1, -1, -1]], [[-1, -1, -1, -1], [1, -1, -1, -1]], [[-1, -1, -1, 1], [-1, -1, 1, 1]], [[-1, -1, -1, 1], [-1, 1, -1, 1]], [[-1, -1, -1, 1], [1, -1, -1, 1]], [[-1, -1, 1, -1], [-1, -1, 1, 1]], [[-1, -1, 1, -1], [-1, 1, 1, -1]], [[-1, -1, 1, -1], [1, -1, 1, -1]], [[-1, -1, 1, 1], [-1, 1, 1, 1]], [[-1, -1, 1, 1], [1, -1, 1, 1]], [[-1, 1, -1, -1], [-1, 1, -1, 1]], [[-1, 1, -1, -1], [-1, 1, 1, -1]], [[-1, 1, -1, -1], [1, 1, -1, -1]], [[-1, 1, -1, 1], [-1, 1, 1, 1]], [[-1, 1, -1, 1], [1, 1, -1, 1]], [[-1, 1, 1, -1], [-1, 1, 1, 1]], [[-1, 1, 1, -1], [1, 1, 1, -1]], [[-1, 1, 1, 1], [1, 1, 1, 1]], [[1, -1, -1, -1], [1, -1, -1, 1]], [[1, -1, -1, -1], [1, -1, 1, -1]], [[1, -1, -1, -1], [1, 1, -1, -1]], [[1, -1, -1, 1], [1, -1, 1, 1]], [[1, -1, -1, 1], [1, 1, -1, 1]], [[1, -1, 1, -1], [1, -1, 1, 1]], [[1, -1, 1, -1], [1, 1, 1, -1]], [[1, -1, 1, 1], [1, 1, 1, 1]], [[1, 1, -1, -1], [1, 1, -1, 1]], [[1, 1, -1, -1], [1, 1, 1, -1]], [[1, 1, -1, 1], [1, 1, 1, 1]], [[1, 1, 1, -1], [1, 1, 1, 1]]]
Coordonnées des sommets d'une projection conique en dimension 3 (utilisée pour la vue ci-dessus)	(±a,±a,0) et permutés, (±b,0,0) et permutés, (±c,0,0) et permutés ; ci-dessous, la liste arêtes regroupées en 24 carrés : [[[a, 0., a], [a, a, 0.], [0., b, 0.], [0., 0., b], [a, 0., a]], [[a, 0., a], [c, 0., 0.], [a, 0., -a], [b, 0., 0.], [a, 0., a]], [[a, 0., a], [0., 0., c], [0., -c, 0.], [a, -a, 0.], [a, 0., a]], [[b, 0., 0.], [a, a, 0.], [0., a, -a], [0., 0., -a], [b, 0., 0.]], [[0., a, a], [0., c, 0.], [0., a, -a], [0., b, 0.], [0., a, a]], [[0., a, a], [0., 0., c], [c, 0., 0.], [a, a, 0.], [0., a, a]], [[0., a, a], [-a, a, 0.], [-a, 0., 0.], [0., 0., b], [0., a, a]], [[0., c, 0.], [0., 0., -c], [a, 0., -a], [a, a, 0.], [0., c, 0.]], [[0., c, 0.], [-c, 0., 0.], [0., -c, 0.], [c, 0., 0.], [0., c, 0.]], [[0., -a, a], [a, -a, 0.], [b, 0., 0.], [0., 0., b], [0., -a, a]], [[0., -a, a], [0., 0., c], [-c, 0., 0.], [-a, -a, 0.], [0., -a, a]], [[0., -a, a], [0., -c, 0.], [0., -a, -a], [0., -a, 0.], [0., -a, a]], [[0., -a, -a], [a, -a, 0.], [c, 0., 0.], [0., 0., -c], [0., -a, -a]], [[0., -a, 0.], [a, -a, 0.], [a, 0., -a], [0., 0., -a], [0., -a, 0.]], [[-a, a, 0.], [-c, 0., 0.], [0., 0., -c], [0., a, -a], [-a, a, 0.]], [[-a, a, 0.], [-a, 0., -a], [0., 0., -a], [0., b, 0.], [-a, a, 0.]], [[-a, 0., 0.], [0., -a, 0.], [b, 0., 0.], [0., b, 0.], [-a, 0., 0.]], [[-a, 0., 0.], [-a, -a, 0.], [0., -a, -a], [0., 0., -a], [-a, 0., 0.]], [[-a, 0., a], [0., 0., c], [0., c, 0.], [-a, a, 0.], [-a, 0., a]], [[-a, 0., a], [0., -a, a], [a, 0., a], [0., a, a], [-a, 0., a]], [[-a, 0., a], [-c, 0., 0.], [-a, 0., -a], [-a, 0., 0.], [-a, 0., a]], [[-a, 0., a], [-a, -a, 0.], [0., -a, 0.], [0., 0., b], [-a, 0., a]], [[-a, 0., -a], [0., -a, -a], [a, 0., -a], [0., a, -a], [-a, 0., -a]], [[-a, 0., -a], [-a, -a, 0.], [0., -c, 0.], [0., 0., -c], [-a, 0., -a]]]
Groupe des isométries	d'ordre 2.24² = 1152, dont la symétrie centrale.
Remarques :	pave l'espace de dimension 4, comme l'hypercube et l'hyperoctaèdre (considérer un pavage d'hypercubes et former dans un hypercube sur 2 les 8 hyperpyramides de base une cellule et de sommet le centre de l'hypercube, et les accoler aux hypercubes contigus afin de former des hypergranatoèdres) seul polytope régulier autodual ayant un centre de symétrie
Sites	fr.wikipedia.org/wiki/Icositétrachore http://mathworld.wolfram.com/24-Cell.html www.polytope.de/c24.html eusebeia.dyndns.org/4d/24-cell.html www.bathsheba.com/math/24cell/index.html www.science.psu.edu/alert/math10-2005.htm en.wikipedia.org/wiki/Octacube_(mathematics) Voir aussi : Pour la Science, mars 2006 p. 96