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POLYÈDRES DE BADOUREAU-COXETER
Badoureau-Coxeter polyhedra, Badoureau-Coxeter Polyeder


Albert Badoureau (1853-1923) : ingénieur et mathématicien français.
Harold Scott MacDonald Coxeter (1907 - 2003) : mathématicien anglais.
Polyèdres de Badoureau découverts par ... Badoureau en 1881.
Polyèdres de Coxeter découverts par... Coxeter et Miller en 1932 (numéros 32, 40, 43, 46, 50, 57, 60, 64, 69, 72, 74, 75 ci-après).
Preuve que ce sont les seuls polyèdres semi-réguliers étoilés par S.P. Sopov en 1970.

Sites :
www.alain.be/polyedres/index_polyedres_uniformes.html
fr.wikipedia.org/wiki/Liste_des_poly%C3%A8dres_uniformes
www.mathconsult.ch/showroom/unipoly/
mathworld.wolfram.com/UniformPolyhedron.html
www.singsurf.org/polyhedra/uniform.php
www.math.technion.ac.il/~rl/docs/uniform.pdf
gratrix.net/polyhedra/uniform/summary/
www.software3d.com/Uniform.php

Les polyèdres de Badoureau-Coxeter sont les polyèdres étoilés non convexes et semi-réguliers (ou uniformes) non réguliers, autres que les prismes et les antiprismes.
Ce sont donc les analogues étoilés des polyèdres archimédiens.
Ils sont au nombre de 53, dont 37 découverts par Badoureau.

2 ont les symétries du tétraèdre :
 
Nom officiel
+ rang dans la liste des polyèdres uniformes
construction code de Schläfli
Symbole de Whytoff
faces sommets Car. d'Euler 
Poincaré
figure
octahémioctaèdre

U3

Mêmes sommets et arêtes que le cuboctaèdre 6.3.6.3

(3/2 3|3) 

8 triangles

4 hexagones

12 0

tétrahémihexaèdre

U4


Mêmes sommets et arêtes que l'octaèdre

4.3.4.3

(3/2 3|2) 


4 triangles
3 carrés
6 1
unilatère

9 ont les symétries du cube :
 
Nom officiel
+ rang dans la liste des polyèdres uniformes
construction code de Schläfli
Symbole de Whytoff
faces sommets Caract.
d'Euler 
Poincaré
figure
petit cubicuboctaèdre U13 Mêmes sommets et arêtes que le rhombicuboctaèdre 3.8.4.8

(3 4|4) 

8 triangles
6 carrés
6 octogones
24 -4
grand cubicuboctaèdre
U14
Mêmes sommets que le cube tronqué 3.8/3.4.8/3

(3 4|4/3) 

8 triangles
6 carrés
6 octogones étoilés

..................

24 -4
cubohémioctaèdre
U15
Mêmes sommets et arêtes que le cuboctaèdre 4.6.4.6

(4 4|3) 

6 carrés
4 hexagones
12 -2
unilatère
cuboctaèdre cubitronqué
U16
Mêmes sommets qu'un "pseudo" cuboctaèdre tronqué 8/3.6.8

(4/3 3 4|) 

8 hexagones
6 octogones
6 octogones étoilés
48 - 4
grand rhombicuboctaèdre U17 Mêmes sommets que le cube tronqué 3.43

(3 4|2) 

8 triangles
18 carrés
24 2
petit rhombihexaèdre
U18
Mêmes sommets et arêtes que le rhombicuboctaèdre 4.8.4.8
(3/2 2 4|) ??
ou 
(4 4|4)
12 carrés
6 octogones
24 - 6
unilatère
cube tronqué étoilé 
U19
Mêmes sommets que le rhombicuboctaèdre 3.(8/3)2

(2 3|4/3) 

8 triangles
6 octogones étoilés
24 2
grand cuboctaèdre tronqué
U20
Mêmes sommets qu'un "pseudo" cuboctaèdre tronqué 4.6.8/3

(2 3 4/3|)

12 carrés
8 hexagones
6 octogones étoilés
48 2
grand rhombihexaèdre
U21
Mêmes sommets que le cube tronqué 8/3.4.8/3.4

2 4/3 (3/2 4/2)
????|

12 carrés 
6 octogones étoilés
24 -6

42 ont les symétries du dodécaèdre :
 
Nom officiel
+ rang dans la liste des polyèdres uniformes
construction code de Schläfli faces sommets Car. d'Euler 
Poincaré
figure
petit icosidodécaèdre ditrigonal
U30
mêmes sommets que le dodécaèdre 5/2.3.5/2.3.5/2.3

(3|5/2 3) 

32 20 -8
petit icosicosidodécaèdre
U31
découvert par Pitsch
mêmes sommets qu'un pseudo rhombicosidodécaèdre 5/2.6.3.6

(5/2 3|3) 

52 60 -8
petit icosicosidodécaèdre adouci 
U32
découvert par Coxeter
mêmes sommets qu'un pseudo rhombicosidodécaèdre 3.5/2.34

(|5/2 3 3) 

112 60 -8
petit dodécicosidodécaèdre
U33
mêmes sommets et arêtes que le rhombicosidodécaèdre 3.10.5.10

(3/2 5|5) 

44 60 -16
(grand) dodécadodécaèdre
U36 
mêmes sommets que l'icosidodécaèdre (5/2.5)2

(2|5/2 5) 

24 30 -6
grand dodécaèdre tronqué
U37
découvert par Pitsch
grand dodécaèdre faiblement tronqué 10.5/2.10

(2 5/2|5) 

24 60 -16
rhombidodécadodécaèdre
U38
grand dodécaèdre chanfreiné 5/2.4.5.4

(5/2 5|2) 

54 60 -6
petit rhombidodécaèdre
U39 
mêmes sommets et arêtes que le rhombicosidodécaèdre 4.10.4.10

2 5 (3/2 5/2) |
???

42 60 -18
dodécadodécaèdre adouci
U40 
découvert par Coxeter
mêmes sommets qu'un pseudo rhombicosidodécaèdre 3.5/2.3.5.3

(|2 5/2 5) 

84 60 -6
dodécadodécaèdre ditrigonal 
U41
mêmes sommets que le dodécaèdre 5/2.5.5/2.5.5/2.5

(3|5/2 5) 

24 20 -16
grand  dodécicosidodécaèdre ditrigonal 
U42
mêmes sommets que le dodécaèdre tronqué 3.10/3.5.10/3

(3 5|5/3) 

44 60 -16
petit  dodécicosidodécaèdre ditrigonal 
U43
découvert par Coxeter
mêmes sommets qu'un pseudo rhombicosidodécaèdre 5/2.10.3.10

(5/2 3|5) 

44 60 -16
icosidodécadodécaèdre
U44 
mêmes sommets et arêtes que U38 5/2.6.5.6

(5/2 5|3) 

44 60 -16
dodécadodécaèdre icositronqué
U45
mêmes sommets qu'un pseudo icosidodécaèdre tronqué 10/3.6.10

(5/3 3 5|) 

44 120 -16
icosidodécadodécaèdre adouci 
U46
découvert par Coxeter
mêmes sommets qu'un pseudo rhombicosidodécaèdre 5/2.33.5.3

(|5/3 3 5) 

104 60 -16
grand icosidodécaèdre ditrigonal
U47
mêmes sommets que le dodécaèdre (3.5)3

(3/2|3 5) ?

32 20 -8
grand icosicosidodécaèdre
U48
mêmes sommets que le dodécaèdre tronqué 3.6.5.6

(3/2 5|3) 

52 60 -8
petit icosihémidodécaèdre U49  mêmes sommets et arêtes que l'icosidodécaèdre 3.10.3.10

(3/2 3|5) 

26 30 -4
petit dodécicosaèdre 
U50 
découvert par Coxeter
mêmes sommets qu'un pseudo rhombicosidodécaèdre 6.10.6.10

3 5 (3/2 5/4) |
??

32 60 -28
petit dodécahémidodécaèdre
U51
mêmes sommets et arêtes que l'icosidodécaèdre 5.10.5.10

(5 5|5) 

18 30 -12
grand icosidodécaèdre
U54
grand icosaèdre fortement tronqué  (5/2.3)2

(2|5/2 3) 

32 30 2
grand icosaèdre tronqué
U55 
découvert par Pitsch
grand icosaèdre  tronqué 6.5/2.6

(2 5/2|3) 

32 60 2
rhombicosaèdre
U56
mêmes sommets et arêtes que U38 4.6.4.6

2 3 (5/4 5/2) |
??

50 60 -10
grand icosidodécaèdre adouci
U57
découvert par Coxeter
mêmes sommets qu'un pseudo rhombicosidodécaèdre 5/2.34

(|2 5/2 3) 

112 60 -8
petit dodécaèdre tronqué étoilé 
U58
mêmes sommets que le rhombicosidodécaèdre 10/3.5.10/3

(2 5|5/3) 

24 60 -6
dodécadodécaèdre tronqué
U59 
mêmes sommets qu'un pseudo icosidodécaèdre tronqué 10/3.4.10

(5/3 2 5|) 

54 120 -6
dodécadodécaèdre inversé adouci
U60
découvert par Coxeter
mêmes sommets qu'un pseudo rhombicosidodécaèdre 5/2.32.5.3

(|5/2 2 5) 

84 60 -6
grand dodécicosidodécaèdre 
U61
mêmes sommets que le grand dodécaèdre tronqué 5/2.10/3.3.10/3

(5/2 3|5/3) 

42 60 -16
petit dodécahémicosaèdre 
U62
mêmes sommets que l'icosidodécaèdre (6.5/2)2

(5/3 5/2|3) 

22 30 -8
grand dodécicosaèdre
U63
mêmes sommets que le dodécaèdre tronqué (6.10/3)2

3 5/3 (3/2 5/2) | ??

32 60 -28
grand dodécicosidodécaèdre adouci
U64
découvert par Coxeter
mêmes sommets qu'un pseudo rhombicosidodécaèdre 5/2.3.5/2.33

(|5/2 5/2 3) 

104 60 -16
grand dodécahémicosaèdre
U65
mêmes sommets que l'icosidodécaèdre (5.6)2

(5 5|3) 

22 30 -8
grand dodécaèdre tronqué étoilé 
U66
découvert par Pitsch
mêmes sommets que le petit icosicosidodécaèdre 10/2.3.10/3

(2 3|5/3) 

32 60 2
grand rhombicosidodécaèdre
U67
mêmes sommets que le grand dodécaèdre tronqué 5/2.4.3.4

(5/2 3|2) 

62 60 2
grand icosidodécaèdre tronqué
U68
mêmes sommets que l'icosidodécaèdre tronqué 10/3.4.6

(5/3 2 3|) 

62 120 2
grand icosidodécaèdre adouci inversé 
U69
découvert par Coxeter
  5/2.34

(|5/2 2 3)

112 60 -8
grand dodécahémidodécaèdre
U70
mêmes sommets que l'icosidodécaèdre (5/2.10/3)2

(5/2 5/2|5/3) 

18 30 -12
grand icosihémidodécaèdre
U71
mêmes sommets que l'icosidodécaèdre (3.10/3)2

(3 3|5/3) 

26 30 -4
petit icosicosidodécaèdre rétroadouci 
U72
découvert par Coxeter
  34.5/2.3

(|3 3 5/2) 

112 60 -8
grand rhombidodécaèdre
U73
mêmes sommets que le grand dodécaèdre tronqué 4.10/3.4.10/3

2 5/3 (3/2 5/4) |??

42 60 -18
grand icosidodécaèdre rétroadouci
U74
découvert par Coxeter
  32.5/2.32

(|3 5/2 2) 

92 60 -28
grand dirhombicosidodécaèdre
U75
découvert par Coxeter
mêmes sommets qu'un pseudo rhombicosidodécaèdre 4.5/2.4.3.4.5/2.4.3

(|3/2 5/3 3 5/2) 

124 60 -56

Il existe un 43-ième "polyèdre" de ce type, appelé grand dirhombidodécaèdre disadouci, ou polyèdre de Skilling, si on accepte que des paires d'arêtes coïncident.
 
 
L'orfèvre Wentzel Jamnitzer a publié en 1568 un ouvrage , Perspectiva corporum regularium, dans lequel se trouvent une multitudes de gravures représentant des variations autour des polyèdres réguliers.
Par exemple ce tétraèdre tronqué où les faces hexagonales sont remplacées par des hexagones étoilés.
Malgré les similitudes avec les polyèdres de badoureau, les hexagones étoilés ne sont pas des polygones simples, donc cet élégant objet ne peut qu'être considéré comme un polyèdre à 20 faces non convexes, et non régulières...

 
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© Robert FERRÉOL 2014